Ульяновский

государственный университет

ул. Л. Толстого 42

432970 Ульяновск Россия Кафедра Математической кибернетики и информатики Phone: +7 (8422) 32-9224 Fax: +7 (8422) 41-2340 Email: SemushinIV@ulsu.ru

1 декабря 2004

ОТЗЫВ официального оппонента

на диссертационную работу Константина Михайловича САМОХВАЛОВА

СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕГИОНАЛЬНЫХ

ГЕОПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ

на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.13.18 �Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ�

Эта работа посвящена актуальной проблеме повышения точности восстановления полей геофизических параметров в интересах более точной идентификации месторождений полезных ископаемых. Работа спланирована как последовательное решение ряда задач дальнейшей разработки и совершенствования методов регрессионного моделирования, а также программного обеспечения.

Диссертация К. М. Самохвалова последовательно рассматривает следующие вопросы:

Глава 1 Глобальные и региональные модели геопотенциала.

На основании обзора состояния проблемы на данный момент времени, автор обосновывает и формулирует задачи своей работы.

Глава 2 Методология, методы и алгоритмы для математического описания потенциальных полей.

Здесь автор дает описание адаптивного регрессионного моделирования, имея в виду адаптацию алгоритмов к нарушению предположений, в которых справедлива Теорема Гаусса-Маркова математической статистики. Подробно излагается материал, содержащийся в учебных курсах^{1} или монографиях^{2} и затем дается его адаптация к конкретной математической задаче — прогнозированию и графическому отображению региональной модели геопотенциала. Строится численный алгоритм ортогонализации экспериментальных данных, направленный на снижение эффекта мультиколлинеарности матрицы регрессоров при решении нормальной системы уравнений.

1например, А. В. Крянев, Г. В. Лукин. Математические методы обработки неопределенных данных: Учебное пособие. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 261 с. — ISBN 5-9221-0412-8.

2С. Г. Валеев. Регрессионное моделирование при обработке данных: Учебное пособие. — Казань:

ФЭН, 2001. – 296 с. — ISBN 5-7544-0158-2.

Глава 3 Программный пакет �Автоматизированная Система Научных Исследований – 3�.

Автор излагает первоначальные версии пакета �АСНИ�. Для повышения точности вычислений он предлагает усовершенствованную версию этого пакета: дает наглядную схему его функционирования, характеризует системное наполнение пакета и детально описывает содержание основного меню пакета, — с точки зрения пользователя. Результатом этой важной части работы стала модернизированная версия �АСНИ–3�.

Глава 4 Построение моделей потенциальных полей и исследование эффективности алгоритмов.

В этом – заключительном – разделе автор дает описание и приводит результаты многочисленных вычислительных экспериментов, тем самым демонстрируя эффективность численных методов и алгоритмов, реализованных в �АСНИ–3�. Строятся модель мегарельефа Луны и модель гравитационного поля Земли, результаты анализируются и сравниваются по точности с результатами от других программ, в частности, по проекту NASA �Clementine� (1995), что убеждает в корректности данной разработки и справедливости делаемых выводов.

Новые научные положения диссертации, представляющие наибольший интерес, состоят в следующем:

• Более точные модели региональных потенциальных полей геофизических характеристик.

• Численные алгоритмы регрессионного моделирования, устойчивые по отношению к плохо обусловленным экспериментальным данным (с явлением мультиколлинеарности, — неполного ранга матрица регрессоров).

• Эффективное, удобное для пользователя специализированное программное обеспечение задач статистического моделирования региональных геопотенциальных полей.

Обоснованность научных положений и выводов. Данные научные положения и выводы из них обоснованы практически строгим применением математической теории наименьших квадратов, математической статистики и алгоритмов регрессионного моделирования, а также множеством вычислительных экспериментов, подтверждающих теорию.

Практическая ценность данной работы заключается в том, что геологоразведочные учреждения и все специалисты, занятые поиском и картографированием залежей полезных ископаемых, получают в свое распоряжение, с одной стороны, практически ориентированную теорию — методику моделирования геопотенциальных полей и, с другой стороны — инструмент, ее реализующий.

Основные положения, выносимые на защиту, обсуждались на семинарах и конференциях разных уровней, а также опубликованы в 11-ти печатных работах. Диссертация написана хорошим языком, автореферат полностью отражает её содержание.

Замечания.

1. Большой акцент на так называемом явлении мультиколлинерности в задаче МНК вызван тем, что решение этой задачи в диссертации рассматривается только в одном варианте: решение нормальной системы уравнений со всеми экспериментальными данными одновременно. Иными словами, не принимаются во внимание многочисленные последовательные методы вычисления решения этой задачи, не критичные к указанному явлению. Проиллюстрируем сказанное примером.

Пусть требуется решить несовместную систему Ax = z с матрицей и вектором

A = ( \begin{matrix}& 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ N & 1 & 1 \end{matrix} ),  z = ( \begin{matrix}& 1 \\ 1 & 1 \\ 2 & 2 \\ ⋮ & ⋮ \\ N & N \end{matrix} )  (1)

по критерию наименьших квадратов: ∥z − Ax∥^{2} = (z − Ax)^{T} (z − Ax) → min_{x}. В данном примере нормальная система A^{T} Ax̂_{N} = A^{T} z относительно МНКрешения x̂_{N} ∈ ℝ^{n}, – здесь n = 2 , – имеет вид

[ \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ] x̂_{N} = \frac{N + 1}{2} [ \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ]  (2)

с общим решением

x̂_{N} = x̂_{N}^{∘} + λ [ \begin{matrix}1 \\ −1 \end{matrix} ] , x̂_{N}^{∘} = \frac{N + 1}{4} [ \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ] , ∀λ ∈ ℝ ,  (3)

где x̂_{N}^{∘} есть нормальное псевдорешение, – единственное МНК-решение с минимальной нормой среди всех МНК-решений x̂_{N} . Этот пример здесь выбран потому, что он иллюстрирует случай мультиколлинеарности: столбцы матрицы A в (??) совпадают. Данный пример в его статистической интерпретации эквивалентен решению задачи оптимального оценивания неизвестного параметра x̂_{N}^{∘} по экспериментальным данным

z = Ax̂_{N}^{∘} + v , v ∼ N (0, I) ,  (4)

где N (0, I) – нормальное распределение с нулевым средним значением и единичной матрицей ковариаций: E {vv^{T} } = I.

Для решения такого рода задач в диссертации предполагается “формирование и решение нормальной системы” (стр. 51) и предлагаются различные численные методы решения: метод исключения Гаусса, метод треугольного разложения (Холесского) и метод ортогонального разложения, стр. 51–54 (главным образом, отражения Хаусхолдера, стр. 57, 63–68).

(a) По поводу формирования нормальной системы. Оно требует хранения и одновременной обработки всей матрицы A, чтобы найти информационную

матрицу Λ = A^{T} A, в данном примере Λ = N [ \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ]. Так как N , –

число экспериментальных данных в векторе z, – обычно очень велико (в диссертации N имеет порядок 70000), а число оцениваемых параметров n в векторе x сравнительно мало (в диссертации n имеет порядок от 30 до 70), то одновременная обработка массива данных [A | z] нецелесообразна.

(b) По поводу численого решения задачи. Решение нормальной системы с мультиколлинеарностью даже методом Хаусхолдера не дает хороших результатов. Так, в данном примере (??) этот метод приводит к системе

[ \begin{matrix}−\sqrt{2} & −\sqrt{2} \\ 0 & 0 \end{matrix} ] x̂_{N} = \frac{N + 1}{2} [ \begin{matrix}−\sqrt{2} \\ 0 \end{matrix} ] ,  (5)

эквивалентной системе (??), т. е., с общим решением (??), но не позволяет найти x̂_{N}^{∘} .

Известен способ устранения этих двух недостатков — последовательная обработка,^{3} которая принципиально возможна как в информационной форме, так и в ковариационной форме.

Введем для данного примера обозначения: A_{1} = [1 | 1] , z_{1} = [1] , a_{i}^{T} = [1 | 1] ,

A_{i+1} = [ \begin{matrix}A_{i} \\ a_{i}^{T} \end{matrix} ], z_{i+1} = [ \begin{matrix}z_{i} \\ ζ_{i+1} \end{matrix} ], ζ_{i} = i, i = 1, 2, …. Тогда A_{N} = A, z_{N} = z.

Информационный последовательный алгоритм для i = 1, 2, … имеет вид:

Λ_{i} = Λ_{i−1} + a_{i}a_{i}^{T} , Λ_{0} = [ \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ] , d_{i} = d_{i−1} + a_{i}ζ_{i} , d_{0} = [ \begin{matrix}0 \\ 0 \end{matrix} ] .

3По этому вопросу имеется обширная литература, например, Grewal, M.S., Andrews, A.P.: Kalman Filtering. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey (1993).

Тогда Λ_{N} = Λ , d_{N} = \frac{N(N + 1)}{2} [ \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ], и при i = N получаем нормальную си-

стему (??) в виде Λ_{N} x̂_{N} = d_{N} . Тем самым видно, что этот информационный последовательный алгоритм также не решает проблему. Однако, решение x̂_{N}^{∘} системы (??) или, что эквивалентно, системы (??), эффективно находится с помощью ковариационного последовательного алгоритма с матрицей ковариации P_{i} при начальном значении P_{0} = (1/ε)I с 0 < ε ≪ 1 . В форме Калмана этот алгоритм имеет вид:

Для i = 1, 2, … выполнять:

α_{i} = a_{i}^{T} P_{i−1}a_{i} + 1 ,  K_{i} = P_{i−1}a_{i}/α_{i} ,  (6)
P_{i} = P_{i−1} − K_{i}a_{i}^{T} P_{i−1} ,  x̂_{i} = x̂_{i−1} + K_{i}(ζ_{i} − a_{i}^{T} x̂_{i−1}) .  (7)

Результаты работы этого алгоритма отражены в нижеследующей таблице:

Величина Зависимость от ε  Предел при ε → 0 Значение при i = N
α_{i}  \frac{2i + ε}{2(i − 1) + ε}  \frac{i}{i − 1}, i ≥ 2  \frac{N}{N − 1}
K_{i}  \frac{1}{2i + ε} [ \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ]  \frac{1}{2i} [ \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ]  \frac{1}{2N} [ \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ]
P_{i}  \frac{P_{0}}{2i + ε} [ \begin{matrix}i + ε & −i \\ −i & i + ε \end{matrix} ] \frac{P_{0}}{2} [ \begin{matrix}1 & −1 \\ −1 & 1 \end{matrix} ]  \frac{P_{0}}{2} [ \begin{matrix}1 & −1 \\ −1 & 1 \end{matrix} ]
x̂_{i}  \frac{i(i + 1)}{2(2i + ε)} [ \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ]  \frac{i + 1}{4} [ \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ]  \frac{N + 1}{4} [ \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ] = x̂_{N}^{∘}

Таким образом, алгоритм (??), (??) не требует ни решения систем, ни обращения матриц для задач вида (??), – независимо от размерностей и конкретных данных, – и при малом ε гарантирует вычисление решения x̂_{N}^{∘} в (??). В качестве пожелания, можно посоветовать автору испытать такого рода алгоритмы в дальнейшем. При этом желательно использовать не формулы (??), (??), а их алгебраический эквивалент, получаемый при переходе от P_{i} к квадратному корню из P_{i}, к UDU^{T} разложению P_{i} или к еще более современным вариантам последовательных квадратно-корневых ковариационных алгоритмов оптимального оценивания, которые наиболее численно устойчивы, в том числе, по отношению к погрешностям округления.

2. Погрешности при описании метода Хаусхолдера. На стр. 64 имеются неправильные слова и формулы. Слова о единственности решения системы Rx_{1} = g_{1} неверны (кроме того, что и сама эта формула должна выглядеть как Rx = g): это решение неединственно. Проиллюстируем это примером (??) при N = 4 . Преобразованием Хаусхолдера эта система приводится к виду: Rx = g, где в данном случае имеем:

R = [ \begin{matrix}−2 & −2 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ] , g = [ \begin{matrix}−5 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} ] ,

и МНК решение этой системы, удовлетворяя общей теории по формуле

x̂ = R^{+}g + (I − R^{+}R)y , y ∈ ℝ^{n} ,  (8)

где R^{+} — псевдообратная матрица к R, равно

x̂_{N} = \frac{5}{4} [ \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ] + λ [ \begin{matrix}1 \\ −1 \end{matrix} ] , ∀λ ∈ ℝ^{1} (при N = 4 , n = 2 ) ,

а в общем случае (при любом N ) этот метод снова дает выбор из бесконечного множества решений (так как λ ∈ ℝ^{1} ):

x̂_{N} = \frac{N + 1}{4} [ \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ] + λ [ \begin{matrix}1 \\ −1 \end{matrix} ] .

Поэтому фраза о том, какой вид имеют все решения задачи минимизации ∥Ax− − b∥ на стр. 64 неверна. Они, наряду с (??), имеют вид

x̂ = A^{+}b + (I − A^{+}A)y , y ∈ ℝ^{n} .

3. Неудачно сформулированы положения, выносимые на защиту. Так, из предложения, где сформулировано Положение 1, неясно, что выносится на защиту — то ли методика построения моделей, то ли оригинальный алгоритм устранения мультиколлинеарности, то ли высокоточный прогноз геофизических характеристик. Из предложения, где сформулировано Положение 2, неясно, что выносится на защиту — то ли программное обеспечение, то ли глобальные и региональные модели, то ли оригинальный алгоритм, то ли карты изолиний. Это же замечание касается и третьего положения.

4. Раздел автореферата и диссертации Научная новизна сфорулирован неудачно: формально, нельзя начинать каждый пункт с глагола, если для перечисления есть общее сказуемое “получены ... результаты:...”; пункты перечисления должны идти как отдельные назывные предложения: “методика...; алгоритм...; программное обеспечение...” и т. д. Однако, при такой незначительной правке возникает пересечение с пунктом Научные положения, выносимые на защиту.

5. Неправильно говорить Практическая значимость. Правильно: Общенаучная значимость и Практическая ценность.

6. Раздел Публикации в автореферате не соответствует списку публикаций в автореферате. Там указано 11 печатных работ, но в списке 8; указано 6 статей, но в списке: статей – 4, программных продуктов – 2 и тезисов – 2.

7. Термин “ошибки” в русскоязычной научной литературе о численных методах считается некоторым жаргоном; правильным является термин “погрешности”.

8. Список литературы имеет бессистемный вид. В нем наименования источников появляются по мере появления ссылок на них, что характерно для научных статей, но не для больших отчетов или монографий.

Отмеченные замечания носят, по большей мере, характер пожеланий для будущих исследований, а недостатки, в основном, относятся к стилю и не имеют принципиального характера.

Заключение. Диссертационная работа К. М. Самохвалова “Статистическое моделирование региональных геопотенциальных полей” может быть квалифицирована как завершенное научное исследование, выполненное современными методами с получением новых результатов, которые имеют общенаучную значимость и конкретную практическую ценность.

Работа удовлетворяет требованиям ВАК, предъявляемым к диссертациям на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.13.18 �Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ� и ее автор К. М. Самохвалов заслуживает присуждения ученой степени кандидата технических наук по этой специальности.

И. В. Семушин, д-р техн. наук зав. кафедрой, профессор

Подпись И. В. Семушина заверяю:

Секретарь Ученого Совета О. А. Литвинко