%-----------MikTex------------------
\documentclass[12pt]{article} % это понятно
\usepackage{a4wide} % аналог fullpage.sty
%\usepackage{a4} % стандартные значения полей страницы
\usepackage[cp1251]{inputenc} % подключение кодировки Windows
%\usepackage[cp866]{inputenc} % подключение кодировки MS DOS
\usepackage[russian]{babel} % подключение русификации (переносы)
\usepackage {graphicx} % подключение графики
%-----------MikTex------------------
\usepackage{epsfig}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[mathscr]{eucal}
\usepackage{texdraw}
\usepackage{rotating}
\usepackage{latexsym}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%NEW COMMANDS%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Local command definitions added by Semoushin%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\Rset}{{\mathbb{R}}}                                    %%
\newcommand{\Zset}{{\mathbb{Z}}}                                    %%
\newcommand{\Nset}{{\mathbb{N}}}                                    %%
\newcommand{\Eset}{{\mathbb{E}}}                                    %%
\newcommand{\Cset}{{\mathbb{C}}}                                    %%
\newcommand{\Hset}{{\mathbb{H}}}                                    %%
\newcommand{\half}{\frac{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 2}}           %%
\newcommand{\Hyp}{{\mathbb{\bf H}}}                                 %%
\newcommand{\keyw}[1]{{\bf #1}}%keywords to write program codes     %%
%\newcommand{\wb}{\widebar}                                         %%
\newcommand{\wt}{\widetilde}                                        %%
\newcommand{\wh}{\widehat}                                          %%
\newcommand{\ds}{\displaystyle}                                     %%
\newcommand{\E}[1]{\mathop{{\rm \bf E}\left\{#1\right\}}\nolimits}  %%
\newcommand{\Sp}[1]{\mathop{{\rm Sp}\left\{#1\right\}}\nolimits}    %%
\newcommand{\tr}[1]{\mathop{{\rm \bf tr}\left[#1\right]}\nolimits}%%
%\newcommand{\tr}[1]{\mathop{{\rm tr}\left[#1\right]}\nolimits}     %%
\newcommand{\rank}{\mathop{\rm rank}\nolimits}                      %%
\newcommand{\ud}{\:\mathrm{d}}                                      %%
\newcommand{\Nu}{{\rm N}}                                           %%
\newcommand{\Eta}{{\rm H}}                                          %%
\newcommand{\grad}{\mathop{\rm grad}\nolimits}                      %%
\newcommand{\diag}{\mathop{\rm diag \ }\nolimits}                   %%
%\newcommand{\diag}[2]{\mathop{\rm diag}[#1, \; #2]}                %%
\newcommand{\triang}{\mathop{\rm triang \ }\nolimits}               %%
\newcommand{\ihf}{\mathop{\rm ihf \ }\limits}                       %%
\renewcommand{\arg}{\mathop{\rm arg \ }}                            %%
\newcommand{\col}[1]{\mathop{\rm col\,}[\,#1\,]}                    %%
%\DeclareMathOperator{\col}{col}                                    %%
\newcommand{\hm}[1]{#1\nobreak\discretionary{}{\hbox{\ensuremath{#1}%%
}}{}}%%продолжение команды дублирования знаков при переносе формулы%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%% Gothic fonts %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Local definitions added by Semoushin                              %%
%12pt                                                               %%
\font\got=eufm10  % Text                                            %%
\font\gots=eufm7  % Script                                          %%
\font\gotss=eufm5 % Subscript                                       %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%% Gothic letters %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Local definitions added by Semoushin%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\g}[1]{\mbox{\got #1}}     % Text                       %%
\newcommand{\gs}[1]{\mbox{\gots #1}}   % Script                     %%
\newcommand{\gss}[1]{\mbox{\gotss #1}} % Subscript                  %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%новая команда типа \subparagraph. Пишите, e.g., так: \pr{Proof}    %%
\newcommand{\pr}[1]{\subparagraph{\it #1}}                          %%
%новая команда quod erat demonstrandum (что и требовалось доказать) %%
%\newcommand{\qed}{\par\hbox to \textwidth{\hfil $\Box$}}            %%
\newcommand{\QEDl}[1]{\hbox to #1\textwidth{\hfill$\Box$}}          %%
\newcommand{\QED}{$\hphantom{.}\hfill \Box$\vspace{12pt}\par}       %%
%новая команда для центрирования любого текста. Пишите так: \h{Текст}%%%%
\newcommand{\h}[1]{\vspace{2pt}\begin{center}\Large \bf #1\end{center}}%%
\newcommand{\hs}[1]{\vspace{2pt}\begin{center}\large \bf #1%%%%%%%%%%%%%%
\end{center}}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%новая команда вместо \paragraph. Пишите так: \p{Текст}             %%
\newcommand{\p}[1]{\paragraph{\bf #1}}                              %%
%новая команда вместо \subparagraph. Пишите так: \s{Текст}          %%
\newcommand{\s}[1]{\subparagraph{\bf #1}}                           %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ENGLISH ENVIRONMENTS added by Semoushin%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                                                                   %%
\newtheorem{remarka}{Remark}%[section]                              %%
\newtheorem{theo}{Theorem}%[section]                                %%
\newtheorem{coro}{Corollary}%[section]                              %%
\newtheorem{alg}{Algorithm}%[section]                               %%
\newtheorem{defn}{Definition}%[section]                             %%
\newtheorem{lem}{Lemma}%[section]                                   %%
%                                                                   %%
%%%%%%%%%added by semoushin%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ДОБАВИЛ СЕМУШИН%%%
%\multlinegap=2cm  %отступ от полей первой и последней формулы      %%
%%                для многострочных формул в окружении multline     %%
\mathsurround=2pt %  дополнительный пробел вокруг формул в тексте   %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\emergencystretch=4pt
\hfuzz=0.5pt
\tolerance=400
%\pagestyle{empty}

%\includegraphics{a3}

\begin{document}
\begin{center}
{%\small
\hspace{-0.67cm}
\begin{tabular}{p{2.5cm}p{7.5cm}p{5.5cm}}
\raisebox{7mm}{\begin{tabular}{p{2.5cm}}
\hspace{-4mm}  
{\includegraphics{a4} }
\end{tabular}}
&
\begin{tabular}{p{7.5cm}}\textbf{\large Ульяновский}\\ 
\textbf{\large государственный} 
\textbf{\large университет}\\
ул. Л. Толстого 42 \\ 432970 Ульяновск Россия \end{tabular}
&
\begin{tabular}{p{5.5cm}} Кафедра \hfil Математической \hfil 
\underline{кибернетики  \hfil и \hfil информатики} \\ %\hline
Phone: \hfill +7 (8422) 32-9224\\
Fax: \hfill +7 (8422) 41-2340\\
Email: \hfill \texttt{SemushinIV@ulsu.ru} \end{tabular}\\\hline
{\footnotesize 1 декабря 2004}&&
\end{tabular}
}\\

\vspace{0.2cm}
\noindent
\begin{tabular}{p{13.5cm}}
%\hline
\vspace{1pt}
\centerline{{\bf ОТЗЫВ} официального оппонента}
\centerline{на диссертационную работу Константина Михайловича 
{\bf САМОХВАЛОВА}}\\
\centerline{СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕГИОНАЛЬНЫХ}
\centerline{ГЕОПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ}
\centerline{на соискание ученой степени кандидата технических наук по}
\centerline{специальности 05.13.18 <<Математическое моделирование,}
\centerline{численные методы и комплексы программ>>}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\bigskip

Эта работа посвящена актуальной проблеме повышения точности
восстановления полей геофизических параметров в интересах более
точной идентификации месторождений полезных ископаемых. Работа 
спланирована как последовательное  решение ряда задач дальнейшей
разработки и совершенствования методов регрессионного моделирования,
а также программного обеспечения.

Диссертация К.~М.~Самохвалова последовательно рассматривает следующие 
вопросы:
\begin{description}
\item[Глава 1] Глобальные и региональные модели геопотенциала. 
\end{description}
На основании обзора состояния проблемы на данный момент времени, автор
обосновывает и формулирует задачи своей работы.

\begin{description}
\item[Глава 2] Методология, методы и алгоритмы для математического описания потенциальных полей.
\end{description}
Здесь автор дает описание адаптивного регрессионного моделирования, имея в 
виду адаптацию алгоритмов к нарушению предположений, в которых справедлива 
Теорема Гаусса-Маркова математической статистики. Подробно излагается 
материал, содержащийся в учебных курсах\footnote{например, А. В. Крянев,
Г. В. Лукин. Математические методы обработки неопределенных данных:
Учебное пособие. --- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. -- 261 с. --- 
ISBN~5-9221-0412-8.} или монографиях\footnote{С. Г. Валеев. 
Регрессионное 
моделирование при обработке данных: Учебное пособие. --- Казань: ФЭН, 
2001. -- 296 с.  --- ISBN~5-7544-0158-2.} и затем дается его адаптация к
конкретной математической задаче --- прогнозированию и графическому 
отображению региональной модели геопотенциала. Строится численный алгоритм
ортогонализации экспериментальных данных, направленный на снижение эффекта
мультиколлинеарности матрицы регрессоров при решении нормальной системы 
уравнений.
\begin{description}
\item[Глава 3] Программный пакет <<Автоматизированная Система Научных 
Исследований~--~3>>.
\end{description}
Автор излагает первоначальные версии пакета <<АСНИ>>. Для повышения
точности вычислений он предлагает усовершенствованную версию этого 
пакета: дает наглядную схему его функционирования, 
характеризует системное наполнение пакета и детально описывает
содержание основного меню пакета, --- с точки зрения пользователя.
Результатом этой важной части работы стала модернизированная версия
<<АСНИ--3>>.

\begin{description}
\item[Глава 4] Построение моделей потенциальных полей и исследование 
эффективности алгоритмов.
\end{description}
В этом -- заключительном -- разделе автор дает описание и приводит 
результаты многочисленных вычислительных экспериментов, тем самым
демонстрируя эффективность численных методов и алгоритмов,
реализованных в <<АСНИ--3>>. Строятся модель мегарельефа Луны и модель
гравитационного поля Земли, результаты анализируются и сравниваются по
точности с результатами от других программ, в частности, по проекту
NASA <<Clementine>> (1995), что убеждает в 
корректности данной разработки и справедливости делаемых выводов.

\paragraph{Новые научные положения диссертации,} представляющие наибольший 
интерес, состоят в следующем:
\begin{itemize}
\item Более точные модели региональных потенциальных полей
геофизических характеристик.
\item Численные алгоритмы регрессионного моделирования, устойчивые
по отношению к плохо обусловленным экспериментальным данным (с явлением
мультиколлинеарности, --- неполного ранга матрица регрессоров).
\item Эффективное, удобное для пользователя специализированное
программное обеспечение задач статистического моделирования региональных 
геопотенциальных полей.
\end{itemize}

\paragraph{Обоснованность научных положений и выводов.} Данные научные 
положения и выводы из них обоснованы практически строгим применением 
математической теории наименьших квадратов, математической статистики
и алгоритмов регрессионного моделирования, а также множеством
вычислительных экспериментов, подтверждающих теорию.

\paragraph{Практическая ценность} данной работы заключается в том, что 
геологоразведочные учреждения и все специалисты, занятые поиском
и картографированием залежей полезных ископаемых, получают в свое 
распоряжение, с одной стороны,  практически ориентированную теорию --- 
методику моделирования  геопотенциальных полей и, с другой стороны ---
инструмент, ее реализующий.

\paragraph{Основные положения,} выносимые на защиту, обсуждались на 
семинарах и конференциях разных уровней, а также опубликованы в 11-ти
печатных работах. Диссертация написана хорошим языком,  автореферат 
полностью отражает её содержание.

\paragraph{Замечания.} 
\begin{enumerate}
\item Большой акцент на так называемом явлении 
мультиколлинерности в задаче \textsl{МНК} вызван тем, что решение этой 
задачи в 
диссертации рассматривается только в одном варианте: решение нормальной 
системы уравнений со всеми экспериментальными данными одновременно. Иными словами, не принимаются во внимание многочисленные
последовательные методы вычисления решения этой задачи, не критичные к
указанному явлению.  Проиллюстрируем сказанное примером.

Пусть требуется решить несовместную систему $Ax=z$ с матрицей и вектором
\begin{equation}\label{sys}
A=\bordermatrix{
 & {\scriptstyle 1} & {\scriptstyle 2} \cr
{\scriptstyle 1} & 1 & 1 \cr
{\scriptstyle 2} & 1 & 1 \cr
\vdots & \vdots& \vdots \cr
{\scriptstyle N} & 1 & 1 \cr
}, \qquad z=\bordermatrix{
 & {\scriptstyle 1}  \cr
{\scriptstyle 1} & 1  \cr
{\scriptstyle 2} & 2  \cr
\vdots & \vdots \cr
{\scriptstyle N} & N \cr
}
\end{equation} 
по критерию \textsl{наименьших квадратов}: 
$\Vert z-Ax \Vert^{2}= (z-Ax)^{T}(z-Ax)\to\min_{x}$.
В данном примере нормальная система $A^{T}A\hat x_{N}=A^{T}z$ относительно
\textsl{МНК}-решения $\hat x_{N}\in\Rset^{n}$, -- здесь $n=2$, -- 
имеет вид
\begin{equation}\label{norsys}
\left[
\begin{array}{cc}
1&1 \\
1&1 
\end{array}
\right]\hat x_{N} = \frac{N+1}{2}
\left[
\begin{array}{c}
1 \\
1 
\end{array}
\right]
\end{equation}
с общим решением
\begin{equation}\label{solx}
\hat x_{N} = \hat x_{N}^{\circ} + \lambda \left[
\begin{array}{c}
1 \\
-1 
\end{array}
\right], \quad \hat x_{N}^{\circ} =\frac{N+1}{4}
\left[
\begin{array}{c}
1 \\
1 
\end{array}
\right], \quad \forall \lambda\in\Rset \, ,
\end{equation}
где $\hat x_{N}^{\circ}$ есть \textsl{нормальное псевдорешение}, --
единственное \textsl{МНК}-решение с минимальной нормой среди всех
\textsl{МНК}-решений $\hat x_{N}$. Этот пример здесь выбран  потому,
что он иллюстрирует случай \textsl{мультиколлинеарности}: столбцы
матрицы $A$ в (\ref{sys}) совпадают. Данный пример в его статистической 
интерпретации эквивалентен решению задачи оптимального оценивания
неизвестного параметра $\hat x_{N}^{\circ}$ по экспериментальным данным
\begin{equation}\label{stat}
z=A\hat x_{N}^{\circ} + v\,,\quad v\sim{\cal {N}}(0, I)\,,\quad
\end{equation}
где ${\cal {N}}(0, I)$ -- нормальное распределение с нулевым средним значением и единичной матрицей ковариаций: $\E{vv^{T}}=I$.

Для решения такого рода задач в диссертации предполагается 
``\textsl{формирование и решение нормальной системы}''
(стр.~51) и предлагаются различные численные методы решения: метод
исключения Гаусса, метод треугольного разложения (Холесского) и метод
ортогонального разложения, стр.~51--54 (главным образом, отражения 
Хаусхолдера, стр.~57, 63--68). 
\begin{enumerate}
\item \textsl{По поводу формирования нормальной системы}. Оно требует хранения и 
одновременной обработки всей матрицы $A$, чтобы найти информационную 
матрицу $\Lambda=A^{T}A$, в данном примере $\Lambda=N\left[
\begin{array}{cc}
1&1 \\
1&1 
\end{array}
\right]$. Так как $N$, -- число экспериментальных данных в векторе $z$, -- 
обычно очень велико (в диссертации $N$ имеет порядок 70000), а число 
оцениваемых параметров $n$ в векторе $x$ сравнительно мало (в диссертации 
$n$ имеет порядок от 30 до 70), то одновременная обработка массива
данных $[A \bigm| z]$ нецелесообразна. 
\item \textsl{По поводу численого решения задачи}. Решение нормальной системы с 
мультиколлинеарностью даже методом Хаусхолдера не дает хороших 
результатов. Так, в данном примере (\ref{sys}) этот метод приводит к 
системе
\begin{equation}\label{hausnorsys}
\left[
\begin{array}{cc}
-\sqrt{2}&-\sqrt{2} \\
0&0 
\end{array}
\right]\hat x_{N} = \frac{N+1}{2}
\left[
\begin{array}{c}
-\sqrt{2} \\
0 
\end{array}
\right]\,,
\end{equation}
эквивалентной системе (\ref{norsys}), т.~е., с общим решением 
(\ref{solx}), но не позволяет найти  $\hat x_{N}^{\circ}$.
\end{enumerate}
Известен способ устранения этих двух недостатков ---
последовательная обработка,\footnote{По этому вопросу имеется обширная 
литература, например, Grewal, M.S., Andrews, A.P.: Kalman 
Filtering. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey (1993).}
которая принципиально возможна как в информационной форме, так и в ковариационной форме.

Введем для данного примера обозначения: $A_{1}=[1 \bigm| 1]$, $z_{1}=[1]$, 
$a_{i}^{T}=[1 \bigm| 1]$,
$A_{i+1}=\left[ 
\begin{array}{c}
A_{i}\\
a_{i}^{T}
\end{array}
\right]$,
$z_{i+1}=\left[ 
\begin{array}{c}
z_{i}\\
\zeta_{i+1}
\end{array}
\right]$, $\zeta_{i}=i$, $i=1,2,\ldots$\,. Тогда $A_{N}=A$, $z_{N}=z$. 
Информационный последовательный алгоритм для $i=1,2,\ldots$ имеет вид:
\[
\Lambda_{i}=\Lambda_{i-1}+a_{i}a_{i}^{T}\,,\quad \Lambda_{0}=\left[
\begin{array}{cc}
0&0 \\
0&0 
\end{array}
\right]\,,\qquad 
d_{i}=d_{i-1}+a_{i}\zeta_{i}\,,\quad d_{0}=\left[
\begin{array}{c}
0 \\
0 
\end{array}
\right]\,.
\]
Тогда $\Lambda_{N}=\Lambda$, $d_{N}=\displaystyle \frac{N(N+1)}{2}
\left[
\begin{array}{c}
1 \\
1 
\end{array}
\right]$, и при $i=N$ получаем нормальную систему (\ref{norsys}) в виде
$\Lambda_{N}\hat x_{N} = d_{N}$. Тем самым видно, что этот информационный
последовательный алгоритм также не решает проблему. Однако, решение
$\hat x_{N}^{\circ}$ системы (\ref{sys}) или, что эквивалентно, системы
(\ref{stat}), эффективно находится с помощью ковариационного
последовательного алгоритма с матрицей ковариации 
$P_{i}$ при начальном значении 
$P_{0}=(1/ \varepsilon) I$  с $0< \varepsilon \ll 1$. В форме Калмана
этот алгоритм имеет вид:

Для $i=1,2,\ldots $ выполнять:
\begin{align}
\alpha_{i}&=a_{i}^{T}P_{i-1}a_{i}+1\,,  &  
K_{i}&=P_{i-1}a_{i}/ \alpha_{i}\,,
\label{alg1}\\
P_{i}&=P_{i-1}-K_{i}a_{i}^{T}P_{i-1}\,, &  
\hat x_{i}&=\hat x_{i-1}+K_{i}(\zeta_{i}-a_{i}^{T}\hat x_{i-1})\,.
\label{alg2}
\end{align}
Результаты работы этого алгоритма отражены в нижеследующей таблице:\\[4pt]
\begin{tabular}{l|l|l|l}\hline
Величина & Зависимость от $\varepsilon$ & Предел при $\varepsilon\to 0$ &
Значение при $i=N$\\\hline
$\alpha_{i}$ 
& $\displaystyle \frac{2i+\varepsilon}{2(i-1)+\varepsilon}$ 
& $\displaystyle \frac{i}{i-1}$, \; $i\ge 2$ 
& $\displaystyle \frac{N}{N-1}$ \\\hline
$K_{i}$ 
& $\displaystyle \frac{1}{2i+\varepsilon}\left[
\begin{array}{c}
1 \\
1 
\end{array}
\right]$ 
& $\displaystyle \frac{1}{2i}\left[
\begin{array}{c}
1 \\
1 
\end{array}
\right]$ 
& $\displaystyle \frac{1}{2N}\left[
\begin{array}{c}
1 \\
1 
\end{array}
\right]$ \\\hline
$P_{i}$ 
& $\displaystyle \frac{P_{0}}{2i+\varepsilon}\left[
\begin{array}{cc}
i+\varepsilon&-i \\
-i&i+\varepsilon 
\end{array}
\right]$
& $\displaystyle \frac{P_{0}}{2}\left[
\begin{array}{cc}
1&-1 \\
-1&1 
\end{array}
\right]$ 
& $\displaystyle \frac{P_{0}}{2}\left[
\begin{array}{cc}
1&-1 \\
-1&1 
\end{array}
\right]$ \\\hline
$\hat x_{i}$ 
& $\displaystyle \frac{i(i+1)}{2(2i+\varepsilon)}\left[
\begin{array}{c}
1 \\
1 
\end{array}
\right]$ 
& $\displaystyle \frac{i+1}{4}\left[
\begin{array}{c}
1 \\
1 
\end{array}
\right]$ 
& $\displaystyle \frac{N+1}{4}\left[
\begin{array}{c}
1 \\
1 
\end{array}
\right]=\hat x_{N}^{\circ} $ \\\hline
\end{tabular}

\noindent
Таким образом, алгоритм (\ref{alg1}), (\ref{alg2}) не требует ни решения систем, ни обращения 
матриц для задач вида (\ref{stat}), -- независимо от размерностей и 
конкретных данных, -- и при малом $\varepsilon$ гарантирует вычисление
решения $\hat x_{N}^{\circ}$ в (\ref{solx}). В качестве пожелания, можно
посоветовать автору испытать такого рода алгоритмы в дальнейшем. При этом
желательно использовать не формулы (\ref{alg1}), (\ref{alg2}), а их 
алгебраический эквивалент, получаемый при переходе от $P_{i}$ к 
квадратному корню из $P_{i}$, к  $UDU^{T}$ разложению $P_{i}$
или к еще более современным вариантам последовательных квадратно-корневых 
ковариационных алгоритмов оптимального оценивания, которые наиболее
численно устойчивы, в том числе, по отношению к погрешностям округления.
\item Погрешности при описании метода Хаусхолдера. На стр.~64 имеются
неправильные слова и формулы. Слова о единственности решения системы 
$Rx_1=g_1$ неверны (кроме того, что и сама эта формула должна выглядеть 
как $Rx=g$): это решение неединственно. Проиллюстируем это примером
(\ref{sys}) при $N=4$. Преобразованием Хаусхолдера эта система приводится 
к виду: $Rx=g$, где в данном случае имеем:
\[
R=\left[
\begin{array}{cc}
-2&-2 \\
0&0\\ 
0&0\\ 
0&0
\end{array}
\right]\,, \quad
g=\left[
\begin{array}{c}
-5\\
0\\ 
1\\ 
2
\end{array}
\right]\,,
\]
и \textsl{МНК} решение этой системы, удовлетворяя общей теории по 
формуле
\begin{equation}\label{sol1}
\hat x = R^{+}g+(I-R^{+}R)y\,, \quad y\in\Rset^{n}\,,
\end{equation}
где $R^{+}$ --- псевдообратная матрица к $R$, равно
\[
\hat x_{N} = \frac{5}{4}\left[
\begin{array}{c}
1 \\
1 
\end{array}
\right] + \lambda \left[
\begin{array}{c}
1 \\
-1 
\end{array}
\right]\,, \quad \forall\lambda\in\Rset^{1}\, \quad \mbox{(при $N=4$, $n=2$)}\,,
\]
а в общем случае (при любом $N$) этот метод снова дает выбор из 
бесконечного множества решений (так как $\lambda\in\Rset^{1}$):
\[
\hat x_{N} = \frac{N+1}{4}\left[
\begin{array}{c}
1 \\
1 
\end{array}
\right] + \lambda \left[
\begin{array}{c}
1 \\
-1 
\end{array}
\right]\,.
\]
Поэтому фраза о том, какой вид имеют все решения задачи минимизации
$\Vert Ax\hm-b\Vert$ на стр.~64 неверна. Они, наряду с (\ref{sol1}),
имеют вид
\[
\hat x = A^{+}b+(I-A^{+}A)y\,, \quad y\in\Rset^{n}\,.
\]
\item Неудачно сформулированы положения, выносимые на защиту. Так, из 
предложения, где сформулировано \textsl{Положение 1}, неясно, что 
выносится на защиту --- то ли методика построения 
моделей, то ли оригинальный алгоритм устранения мультиколлинеарности, 
то ли высокоточный прогноз геофизических характеристик. 
Из предложения, где сформулировано \textsl{Положение 2},
неясно, что выносится на защиту --- то ли программное обеспечение, то ли
глобальные и региональные модели, то ли оригинальный алгоритм, то ли
карты изолиний. Это же замечание касается и третьего положения.
\item Раздел автореферата и диссертации \textsl{Научная новизна}
сфорулирован неудачно: формально, нельзя начинать каждый пункт с глагола, 
если для перечисления есть общее сказуемое ``получены ... 
результаты:...'';
пункты перечисления должны идти как отдельные назывные предложения:
 ``методика...; алгоритм...; программное обеспечение...'' и т.~д.
 Однако, при такой незначительной правке возникает пересечение с
 пунктом \textsl{Научные положения, выносимые на защиту}.
\item Неправильно говорить \textsl{Практическая значимость}.
Правильно:  \textsl{Общенаучная значимость} и \textsl{Практическая 
ценность}.
\item Раздел \textsl{Публикации} в автореферате не соответствует
списку публикаций в автореферате. Там указано 11 печатных работ,
но в списке 8; указано 6 статей, но в списке: статей -- 4, программных
продуктов -- 2 и тезисов -- 2.
\item Термин ``ошибки'' в русскоязычной научной литературе о численных 
методах считается некоторым жаргоном; правильным является термин
``погрешности''.
\item Список литературы имеет бессистемный вид. В нем наименования
источников появляются по мере появления ссылок на них, что характерно для 
научных статей, но не для больших отчетов или монографий.
\end{enumerate}

Отмеченные замечания носят, по большей мере, характер пожеланий для 
будущих исследований, а недостатки, в основном, относятся к стилю и
не имеют принципиального характера.


%\textsl{}


\paragraph{Заключение.}$\!$ 
Диссертационная работа  К.~М.~Самохвалова 
``Статистическое моделирование региональных геопотенциальных полей''
может быть квалифицирована как завершенное научное исследование,
выполненное современными методами с получением новых результатов, которые 
имеют общенаучную значимость и конкретную практическую ценность.

Работа удовлетворяет требованиям ВАК, предъявляемым к диссертациям на 
соискание ученой степени кандидата технических наук по 
специальности 05.13.18 <<Математическое моделирование,
численные методы и комплексы программ>>
и ее автор   К.~М.~Самохвалов
заслуживает присуждения ученой степени кандидата технических наук по этой 
специальности.


\vspace{0.1cm}
%\noindent Sincerely,
\vspace{0.9cm}%\vspace{0.1cm}

\noindent\begin{tabular}{p{13.3cm}}
%\noindent\includegraphics{my2}
\end{tabular}

\noindent И.~В. Семушин, д-р техн. наук\\
зав. кафедрой, профессор\\


\noindent Подпись И.~В. Семушина заверяю:\\

\hbox to \textwidth{Секретарь Ученого Совета\hrulefill О. А. Литвинко}

\end{document}