\section{Ортогональные матрицы в задаче о наименьших квадратах\label{s6.2+}}
В рассматриваемой задаче  о наименьших квадратах
\begin{equation}\label{J==}
J(x)=\Vert z-Ax \Vert^2, \quad A(m,n), \quad m\ge n,  \quad  \rank A=n.
\end{equation}

Пусть $T$, $T(m,m)$, есть матрица некоторого ортогонального преобразования.
В силу свойства C (см.~разд.~\ref{s6.1}) запишем
\begin{equation}\label{J==T}
J(x)=\Vert T(z-Ax) \Vert^2=\Vert (Tz)-(TA)x \Vert^2.
\end{equation}
При таком представлении видно, что минимум критерия $J(x)$, равный 
$J(\hat x)$, не зависит от $T$. Этом фактом можно воспользоваться, \ie матрицу
$T$ можно выбрать так, что $(TA)$ приобретает привлекательную для вычислений форму.
Действительно, в разд.~\ref{s6.3} и \ref{s6.4} мы покажем, как можно выбрать  $T$, чтобы 
преобразованная матрица имела вид
\begin{equation}\label{TA=}
TA=\hspace{-1.5ex}\begin{array}{@{}c@{\hspace{-1.5ex}}l}
\multirow{2}{2cm}{$\left[
\begin{array}{c}
R\\
\boldsymbol{0}
\end{array}
\right]$}  & \}\, n \\
          & \}\,  m-n
\end{array}
\end{equation}
с верхнетреугольным блоком $R$, $\rank R=n$.

Если соответственно этому вектор $Tz$ разбить на блоки, \ie записать
\begin{equation}\label{Tz=}
Tz=\hspace{-1.5ex}\begin{array}{@{}c@{\hspace{-1.5ex}}l}
\multirow{2}{2cm}{$\left[
\begin{array}{c}
z_1\\
z_2
\end{array}
\right]$}  & \}\, n \\
          & \}\,  m-n
\end{array},
\end{equation}
то $J(x)$  от (\ref{J==T}) приводится к виду
\begin{equation}\label{J(x)}
J(x)=\Vert z_1-Rx \Vert^2+\Vert z_2 \Vert^2.
\end{equation}

Приведение критерия наименьших квадратов к виду (\ref{J(x)}) позволяет видеть, что искомый вектор $\hat x$, минимизирующий этот критерий, должен
удовлетворять уравнению 
\begin{equation}\label{Rx=}
R\hat x=z_1,
\end{equation}
которое легко решается обратной подстановкой (см.~разд.~\ref{s6.3++}), и кроме того,
\begin{equation}\label{minJ(x)=}
\min~J(x)=J(\hat x)= \Vert z_2 \Vert^2.
\end{equation}

В вычислительном отношении эти результаты гораздо более элегантны, чем 
неразумная трата сил на решение нормальных уравнений (\ref{normeq}). 
Но важнее всего то, что решение, использующее ортогональные преобразования
(соотношения (\ref{TA=}), (\ref{Tz=}), (\ref{Rx=}) и (\ref{minJ(x)=})),
менее чувствительны к погрешностям, вызванным ошибками округления в компьютере. Это видно хотя бы из того, что выражение (\ref{TA=})
влечет равенство
\[
R^TR=(TA)^T(TA)=A^TA,
\]
которое означает, что $R$ является квадратным корнем из матрицы $(A^TA)$
системы нормальных уравнений (\ref{normeq}). Следовательно, при решении
системы (\ref{Rx=}) вдвое более эффективно используется разрядная сетка 
компьютера, чем при решении системы (\ref{normeq})\footnote{\enspace Представление в компьютере квадрата $a^2$ любого действительного числа $a$ требует удвоенной разрядности мантиссы, \ie счет по уравнению (\ref{Rx=}) равносилен счету с удвоенной разрядностью мантиссы чисел по уравнению (\ref{normeq}).}.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%