\section{Шаг триангуляризации матрицы преобразованием Хаусхолдера\label{s6.3+}}
Пусть матрица $A=A(m,n)$ задана. Тогда, согласно лемме~\ref{l:1}, базовая операция процесса 
триангуляризации заключается в вычислении скаляра $s$ и матрицы $\tilde A=\tilde A(m,n-1)$ таких, что
\begin{equation}\label{eq:lem1+}
\raisebox{-1.5ex}{$T_uA=\;$   }\begin{array}{@{}r@{}c@{}c}
  & \hspace{1em}{\overbrace{\hphantom{sss}}^{1}} & \hspace{-0.2em}{\overbrace{\hphantom{sssss}}^{n-1}} \\
 {\scriptstyle 1} \{ & \multicolumn{2}{c}{\multirow{2}{3cm}{%
 $\left[ \begin{array}{ccc} 
 s & \bigm| & \\
 \multirow{2}{1em}{$\boldsymbol{0}$} & \bigm| & \tilde A\hphantom{s} \\
  & \bigm| & 
\end{array}
 \right].$
 }}   \\
 \multirow{2}{1.1cm}{${\scriptstyle m-1}\biggl\{ $ } &  &  \\
  &  &  
\end{array}
\end{equation}

\s{\large Алгоритм.}$\!\!\!\!$ Для вычисления $s$ следует применять свойство~6,
\ie выполнять  (\ref{annihilating1}) для всех $k=1$ до $\min~(m-1,n)$. 
Затем для вычисления $\tilde A$ следует применять свойство~5, \ie  последовательно  в цикле по $j\hm=2,\ldots,n$ для всех $i=k,\ldots,m$ выполнять 
(\ref{annihilating1+}) с $\lambda\triangleq -\gamma$ (\mbox{см.~(\ref{T_uy=})}). Здесь введена величина $\alpha  \triangleq -\beta \enspace  (\mbox{см.~(\ref{yr==}) и свойство 6})$.\smallskip

\begin{myframe}{15.7cm}
Для $k=1$ до $\min~(m-1,n)$\vspace{-2.5ex}
\begin{equation}\label{annihilating1}
\left.\begin{aligned}
s_k &= -\sgn{A(k,k)}\left( \sum_{i=k}^m \left[ A(i,k) \right]^2 \right)^{1/2}\hspace{-1.2em}, \\
u_k(1)   &= A(k,k)-s_k,      \\
u_k(i)   &= A(k+i-1,k),\quad  i=2,\ldots,m-k+1,    \\
\alpha_k  &= 1/(s_ku_k(1)) \qquad  (\alpha_k <0).    
\end{aligned}\enspace\enspace\right\}
\end{equation}

\qquad\qquad Для $j=k+1,\ldots,n$\vspace{-1.5ex}
\begin{equation}\label{annihilating1+}
\left.\begin{aligned}
\lambda  &:=\alpha_k \cdot \sum_{i=k}^m u_k(i-k+1)A(i,j),       \\
&\mbox{Для}\enspace i =k,k+1,\ldots,m \\
&A(i,j)   := A(i,j)+\lambda u_k(i-k+1).      
\end{aligned}\enspace\right\}
\end{equation}
\end{myframe}
\medskip

Приведенный алгоритм (\ref{annihilating1}),  (\ref{annihilating1+}) называют \emph{столбцово ориентированным}, так как операции (\ref{annihilating1+})
вычисляют целиком каждый $j$-й столбец матрицы, находящийся справа от ведущего, \ie $k$-го столбца.

Альтернативная схема вычислений называется \emph{строчно ориентированным} алгоритмом. Ее можно получить из выражения $T_u=I-\beta uu^T$ для матрицы Хаусхолдера следующим образом.

Введем вспомогательные обозначения: $\mu\triangleq \sqrt{\beta}$, $w\triangleq \mu u$,
чтобы записать $T_u=I-ww^T$. Тогда $(T_uA)=A-wz^T$, где
$z^T\triangleq w^TA=\mu v^T$, $v^T\triangleq \sum_{i=1}^{m}u(i)A(i,\cdot)$ и $A(i,\cdot)$ есть $i$-я строка матрицы $A=A(m,n)$. Введем обозначение
$\lambda^T=\alpha v^T$, используя ранее введенное (см. (\ref{annihilating1})) $\alpha\triangleq -\beta$. 
Отсюда получаем формулу для любой $i$-й строки $(T_uA)(i,\cdot)$ преобразованной матрицы $(T_uA)$ в виде
\[
(T_uA)(i,\cdot)=A(i,\cdot)-w(i)z^T=
A(i,\cdot)-\mu ^2 u(i) v^T=A(i,\cdot)+\lambda^Tu(i).
\]

\s{\large Алгоритм}$\!\!\!\!$(строчно ориентированный), эквивалентный (\ref{annihilating1}) и (\ref{annihilating1+}).\smallskip

\begin{myframe}{15.7cm}
Для $k=1$ до $\min~(m-1,n)$\vspace{-2.5ex}
\begin{equation}\label{row-annihilating1}
\left.\begin{aligned}
s_k &= -\sgn{A(k,k)}\left( \sum_{i=k}^m \left[ A(i,k) \right]^2 \right)^{1/2}\hspace{-1.2em}, \\
u_k(1)   &= A(k,k)-s_k,      \\
u_k(i)   &= A(k+i-1,k),\quad  i=2,\ldots,m-k+1,    \\
\alpha_k  &= 1/(s_ku_k(1)) \qquad  (\alpha_k <0).    
\end{aligned}\enspace\enspace\right\}
\end{equation}

\qquad\qquad Для $j=k+1,\ldots,n$\vspace{-1.5ex}
\begin{equation}\label{row-annihilating1+}
\left.\begin{aligned}
\lambda_k(j-k)  :=\alpha_k \cdot  \sum_{i=k}^m & u_k(i-k+1)A(i,j),       \\
\hspace{0.7cm} \text{Для}\enspace i =k,k+1,\ldots,m  &  \\
\mbox{Для}\enspace j=k+1,\ldots,&n\\
A(i,j)   := A(i,j)&+\lambda_k(j-k) u_k(i-k+1).      
\end{aligned}\enspace\right\}
\end{equation}
\end{myframe}
\medskip


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%