%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\title{�� ����� ������ ���������� ��������� ��������������� ������� ������������� � ������� ������������ ���������-��������� ��������������� ��������� ����������
}

\author{�.~�.~��������$^\star$} 
\heading{�.~�.~��������}
\address{$^\star$������� �������������� ����������� � �����������
\\
��.~�.~�������� 42, ����������� ��������������� �����������, 432970 ��������� ������
\\
e-mail: \underline{mkulikova@cam.wits.ac.za}} 
\keywords{\label{beginKulikova}  �������� ��������������� ������� �������������,
���������-�������� �������������� ��������� ����������.} 
\abstract{
� ������ ����������� ������ ���������� ������ ������������
��������� �������� �������������� ������� ������� ��������� �������������.
���������� ����� ����������� ������ ���������� ���������
���������������
��\-����� ������������� �� ������ ������������ ���������-���������
��������������� ��������� ����������.
��������� ���������� ��������� �������������,
�������������� ���������� � �������������� ��� �����������������
� �������������.
}



\maketitul{\pageref{beginKulikova}}{\pageref{endKulikova}}{519.226.2~:~519.233.2}%
\addcontentsline{toc}{paper}{%
\hbox to 2.1em {\textbf{\arabic{papernumber}}}
\textit{�.~�.~��������}.%
\; �� ����� ������ ���������� ��������� ��������������� ������� ������������� � ������� ������������ ���������-��������� ��������������� ��������� ���������� %
}

\setcounter{equation}{0}
\section{�������� \label{intro}}

������� ������ ��
��������  ����� � ����� ������������, ������ ���������� �� ����������
��������������� ������� ������������� (���) � �� ��������� ������ �����������
��� ������� ����� ����� ��� ����������� ��������� �
�� �����������~\cite{NewboldYu-Chi68}, \cite{KailathPoor98}
� ������� ������������� � ����������������
����������~\cite{BiermanBelzerVandergraft90} � ��.
����� �������, �������� ������������ ���������� ��� � �� ���������
����� ������ ������������ �������� � �� ��������� ��������� ���
ee ���������� ���� ���������
��������� �����~\cite{BiermanBelzerVandergraft90}, \cite{Bierman77},
\cite{Schweppe65}, \cite{SemTsy2002}, ���
������������ �� ������������ � � ���� ���.

��������� ���������� � ��������� ����,
������ ����������� ������������ �������� ����� ����������:
���� �����������  � ��������������
����� ��������� ����������~\cite{ParkKailath95}, ���������� ����� ����������� ����� �����
���������� ��������. ����� ��� ����� ��������  �����������
���������-�������� �������� (�����).
����� ������ ������ �������� ���������� ������
������ ���������� ��������� ��� �� ������ �����, ���������������
�~\cite{ParkKailath95}. ��������� ����� �������� ����� �����������
����� ��� ���������� ����������� ����������, �� ������������, ���
����� ���������� ��������� ���, ����������� �� ��� ������,
���������� ��� ��� ������������ � ��� ����� ����� �����
���������� �� ��������� � ���
���������� ��������� ���������� ��������� ���.

\section{���������� ������ \label{sec2}}

����� ��������� �������������
����� ���� ��������  �	������
���������� ������ ����������
�������� ������������ ������.

����� ���������� ������������ ������� ����������� ���������� �����������
\begin{equation}
x_{t+1}=\Phi_t x_t+G_t w_t, \qquad t=0,1, \ldots, N,
\label{eq:1.1}
\end{equation}
\begin{equation}
z_t=H_t x_t+v_t, \qquad    t=1, 2, \ldots, N,
\label{eq:1.2}
\end{equation}
��� $x_t \in \Rset^{n}$~--- ������ ��������� �������,
$z_t \in \Rset^{m}$~--- ��������� ��� ���������� ������ ���������.
$\{w_0,w_1,\dots\}$ � $\{v_1,v_2,\dots\}$~--- ����������� ���������
�������������� ������� ����� � �������� ��������
� ��������������� ���������
$Q_t$ � $R_t$, ��������������.
����� ����,
������������������ ����� $\{w_0,w_1,\dots\}$ � $\{v_1,v_2,\dots\}$
�� ������� ��
���������� ������� ��������� ������� $x_0 \sim {\cal N}(\bar x_0, P_0)$.

����� �������� ������
$\Phi_t \in \Rset^{n \times n}$, $G_t \in \Rset^{n \times q}$,
$H_t \in \Rset^{m \times n}$, $Q_t \in \Rset^{q \times q}$ � $R_t \in \Rset^{m \times m}$,
���������������
�������~(\ref{eq:1.1}), (\ref{eq:1.2}),
�������� ���������� �������� ���������
�� ����������  ������� ���������� $\theta \in \Rset^p$.
�������� ������ ��������� �������������,
���������� ���������� ����������� ���������� $\theta_i$, $i=1,2, \ldots p$,
�������� �� ��������, ��� �������
��������� ���������� ����� ����������
�����������~\cite{Van60}, ���
������������
������������  ���
$L_{\theta}\left( Z_1^N \right)$,
����������� ��� ����������� ���������� $Z_1^N=(z_1, z_2 \ldots z_N)$ �
� �������� �������~(\ref{eq:1.1}), (\ref{eq:1.2})  ����������� ��������� ���:
$$
L_{\theta}\left( Z_1^N \right)= \frac{1}{2} \sum \limits_{t=1}^N  \left\{
- \frac{m}{2}\ln(2\pi)
-\ln ( \det (R_{e,t})) - e_t^T R_{e,t}^{-1} e_t
\right\},
$$
��� $e_t=z_t-H_t \hat x_t^-$~--- ������� ������� ������� � ������ ������� $t$,
����������������� �������������� �������� $E \{ e_t e_t^T \}=R_{e,t}
=H_tP_t^{-}H_t^T+R_t$ � $P_t^{-}$~--- ������������� ������
���������� ������, ����������� � ������� �������.

������������ $L_{\theta}\left( Z_1^N \right)$
������������ ��\-��\-��\-��\-���  �������
$-L_{\theta}\left( Z_1^N \right)$.
��������� ������������� ���, ����������� ��� ���������� $t$-�� ���������� $z_t$
� �������~(\ref{eq:1.1}), (\ref{eq:1.2})
��� ������� ��������� ���������� ����������� ���������� �����
$l_{\theta}(z)$. �����
\begin{equation}
l_{\theta}(z)= \frac{1}{2} \left\{
\frac{m}{2}\ln(2\pi)+
\ln ( \det (R_{e,t}))+ e_t^T R_{e,t}^{-1} e_t
\right\}.
\label{eq:1.3}
\end{equation}

� ����� ���������� ������ ��������� ������������� ��� ������ ������������
��������� $\theta \in \Rset^p$ �������~(\ref{eq:1.1}), (\ref{eq:1.2}),
����������� ����� �������� ��� ����������
��������� ��� $l_{\theta}(z)$,
�������� �������� ��� ������� ������� ������� $t=1, \ldots N$, ��������
$\displaystyle \frac{\partial{l(z)}}{\partial{\theta_i}}$, $i=1,2, \ldots p,$
������������ �����������.

\section{�������� ���������� ��������� ��������������� �������
������������� \label{sec3}}


�������������� ��������� ���������� �������� ������ �� �������� ������ �
������ ��������� ������� �������. ��� ����� ����������� ���
������� ����� � �������� ����� �������
��������� ���������� ��� �� ����������, �.~�. � ��� ���������, �����
���������� �������������� ����������
�� �������� ������ ��������, ��� ��� ���
������������ �������� ���������� �������������� ����� �������.

������ �� ����, ������������ ����, ���������� �����,
������������ �~\cite{ParkKailath95}. ������, ��� �������� �����������
��������� ������������ ��� � ��������� ����:
�����������, ��� $P_0>0$, $R_t>0$ �
$F_t$ ��������, �� ������  $\hat x_0^-= \bar x_0$,
$P^-_0=P_0$  ���������:
$$
O_t
\left[
\begin{array}{ccc|c}
R_t^{-T/2} & -R_t^{-T/2}H_tF_t^{-1} & R_t^{-T/2}H_tF_t^{-1}G_tQ_t^{T/2}
& -R_t^{-T/2}z_t  \\ [5pt]
0 & (P_t^-)^{-T/2}F_t^{-1} \  & \ -(P_t^-)^{-T/2}F_t^{-1}G_tQ_t^{T/2}
& \   (P_t^-)^{-T/2}\hat x_t^- \ \\ [5pt]
0 & 0 & I_q & 0 \\
\end{array}
\right]
$$
\begin{equation}
=
\left[
\begin{array}{ccc|c}
R_{e,t}^{-T/2} & 0 & 0 &- \bar e_t  \\[5pt]
-(P_{t+1}^-)^{-T/2} K_{p,t}\ &
\  -(P_{t+1}^-)^{-T/2} & 0 &(P_{t+1}^-)^{-T/2} \hat x_{t+1}^-  \\[5pt]
* & * & * & *\\
\end{array}
\right],
\label{eq:2.1}
\end{equation}
���
$O_t$~--- ������������� ��������������, ���������� � ��������
������� ������������ ����
�������, ������� � ������ ����� �������~(\ref{eq:2.1}),
$(P_{t}^-)^{1/2}$~--- ������� ����������� �������, ����������
���������� ������ ������� $P_{t}^-$, �.~�.
$P_{t}^-=(P_{t}^-)^{T/2}\hm\times (P_{t}^-)^{1/2}$. ����������,
$P_{t+1}^-=(P_{t+1}^-)^{T/2} (P_{t+1}^-)^{1/2}$,
$R_t=(R_t)^{T/2} (R_t)^{1/2}$, $Q_t=(Q_t)^{T/2}\hm\times  (Q_t)^{1/2}$ �
$R_{e,t}=(R_{e,t})^{T/2} (R_{e,t})^{1/2}$. ��� ���� ����
����������� ������ ������������ ��������� �����������:
$A^{T/2}=(A^{1/2})^T$, $A^{-1/2}=(A^{1/2})^{-1}$ �
$A^{-T/2}=(A^{-1/2})^T$. � �������~(2.1)
$K_{p,t}=F_tP_t^-H_t^TR_{e,t}^{-1}$ � $I_q$~---
��������� ������� ������� $q\times q$.

������� ������� ��� ���������� ���������
��� ��� �������~(\ref{eq:1.1}),
(\ref{eq:1.2})	� ��������  �����.
�������, ��� ������� $R_{e,t}^{1/2}$ �������� ������� �����������.
�������������, ����������� �����������
$$
\ln ( \det (R_{e,t}))=2 \ln ( \det (R_{e,t}^{1/2}))
$$
�
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial{\theta_i}}
\left[ \ln ( \det (R_{e,t}^{1/2}))\right]
=\mbox{{\bf tr}} \left[
 R_{e,t}^{-1/2} \
\frac{\partial{\left( R_{e,t}^{1/2}\right) }}{\partial{\theta_i}}
\right],
\label{eq:2.2}
\end{equation}
��� $\mbox{{\bf tr}}[ \cdot]$~--- ���� �������.


�������������~(\ref{eq:1.3}), ����������~(\ref{eq:2.2}) � ������ �� ��������, ���
$\det A^{-1}=(\det A)^{-1}$, ��������:
\begin{equation}
\frac{\partial{l(z)}}{\partial{\theta_i}}=
-\mbox{{\bf tr}} \left[
R_{e,t}^{1/2} \
\displaystyle \frac{\partial{\left( R_{e,t}^{-1/2}\right) }}{\partial{\theta_i}}
\right]
+
{\bar e_t}^T
\displaystyle \frac{\partial{\bar e_t }}{\partial{\theta_i}},
\qquad i=1,2 \ldots p.
\label{eq:2.3}
\end{equation}

�����, ������� � ������� ������ � ���������
����~\cite{BiermanBelzerVandergraft90}, �������� ��
(� ����� ����������) �� ������
������������� ������,
������������ ����� ����� ���������� ��������� ���~(\ref{eq:2.3})
�� ������  �����~(\ref{eq:2.1}). ���
������� ������� ������� $t$ ��������� � ������������ ��
��������� ����������:

\begin{rusalg}

\noindent
\begin{enumerate}
\item[{\bf I.}] ��������� ������������� ��������������
$O_t$~(\ref{eq:2.1}) � �������:
$$
O_t
\left[
\begin{array}{cccc}
 \displaystyle \frac{\partial{\left( R_t^{-T/2} \right)}}{\partial{\theta_i}}
&\displaystyle \frac{\partial{\left( S_t^{(1)} \right)}}{\partial{\theta_i}}
&\displaystyle \frac{\partial{\left( S_t^{(2)} \right)}}{\partial{\theta_i}}
&\displaystyle \frac{\partial{\left( S_t^{(3)} \right)}}
{\partial{\theta_i}} \\ [10pt]
0 &\displaystyle \frac{\partial{\left( S_t^{(4)} \right)}}{\partial{\theta_i}}
&\displaystyle	\frac{\partial{\left( S_t^{(5)} \right)}}{\partial{\theta_i}}
&\displaystyle \frac{\partial{\left( S_t^{(6)}\right)}}{\partial{\theta_i}} \\ [10pt]
0 & 0 & 0 & 0\\
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{cccc}
 X_i & Y_i & M_i & L_i\\[5pt]
N_i & V_i & W_i & K_i \\[5pt]
 * & * & * & * \\
\end{array}
\right],
$$
��� ���������� ������������ ��� �������
$\theta_i$, $i=1,2 \ldots p$, � ������� ��������� �����������:
$$
\begin{array}{ll}
S_t^{(1)}=-R_t^{-T/2}H_tF_t^{-1}, &
S_t^{(2)}=R_t^{-T/2}H_tF_t^{-1}G_tQ_t^{T/2}, \\ [5pt]
S_t^{(3)}=-R_t^{-T/2}z_t,  &
S_t^{(4)}=(P_t^-)^{-T/2}F_t^{-1},  \\ [5pt]
S_t^{(5)}=-(P_t^-)^{-T/2}F_t^{-1}G_tQ_t^{T/2},
& S_t^{(6)}=(P_t^-)^{-T/2}\hat x_t^-. \\
\end{array}
$$

\item[{\bf II.}] ����� �������� � ������� ������.
��� ������� $\theta_i$, $i=1,2 \ldots p$, ���������:
$$
J_i^{(1)}=
\left[
\begin{array}{ccc}
X_i & Y_i & M_i \\ [5pt]
N_i & V_i & W_i \\ [5pt]
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{ccc}
R_{e,t}^{-T/2} & 0 & 0 \\[5pt]
-(P_{t+1}^-)^{-T/2}K_{p,t}\ &  \
-(P_{t+1}^-)^{-T/2} & 0  \\[5pt]
* & * & * \\
\end{array}
\right]^{-1}.
$$

\item[{\bf III.}] ��� ������� $\theta_i$, $i=1,2 \ldots p$, ������������,
����������� �� �����~II ������� $J_i^{(1)}$ �
��������� ����:
$$
J_i^{(1)}=
\lefteqn{
 \left.
\phantom{
 \begin{array}{c}
    L_i^{(1)}+D_i^{(1)}+U_i^{(1)} \\
 \end{array}
 \begin{array}{c}
  |\quad *** \quad\\
 \end{array} \quad  \
}
 \right\}  \scriptstyle{m+n}
}
 \overbrace{
  \rule{0pt}{5mm}
  \underbrace{
    \left[
      \begin{array}{c|}
      L_i^{(1)}+D_i^{(1)}+U_i^{(1)} \\
     \end{array}
    \right.
  }_{m+n}
   \left.
    \begin{array}{c}
	 \quad *** \quad\\
     \end{array}
    \right]
  }^{m+n+q} \quad  \qquad ,
$$
��� $L_i^{(1)}$, $D_i^{(1)}$ � $U_i^{(1)}$~---~��������������
���������������� (��� ������� ���������),
������������ �
����������������� (��� ������� ���������) �����
����������, �������������� ��
������ $m+n$ �������� � ����� ������� $J_i^{(1)}$. ����������� ���������
���� ������� $J_i^{(1)}$  �������
$(m+n) \times q$, ������� �� ������������ � ������ ������
��� ��� ��������;

\item[{\bf IV.}] ��� ������� $\theta_i$, $i=1,2 \ldots p$, �������
��������� ��������:
$$
J_i^{(2)}=
\left[
\begin{array}{cc}
\displaystyle
\frac{\partial{\left( R_{e,t}^{-T/2} \right)}}{\partial{\theta_i}}
 & 0 \\  [10pt]
\displaystyle
\frac{\partial{\left( -(P_{t+1}^-)^{-T/2}K_{p,t} \right)}}{\partial{\theta_i}}
&
\displaystyle
\frac{\partial{\left( (P_{t+1}^-)^{-T/2} \right)}}{\partial{\theta_i}}	\\
\end{array}
\right]=   \qquad \qquad \qquad \qquad
$$
$$
=\left[
{L_i^{(1)}}^T+D_i^{(1)}+U_i^{(1)}
\right]
\left[
\begin{array}{cc}
\displaystyle
R_{e,t}^{-T/2} & 0 \\
-(P_{t+1}^-)^{-T/2}K_{p,t} & (P_{t+1}^-)^{-T/2} \\
\end{array}
\right],
$$

$$
\left[
\begin{array}{c}
-\displaystyle \frac{\partial{\bar e }}{\partial{\theta_i}} \\ [10pt]
\displaystyle \frac{\partial{\left( S^{(6)}_{t+1} \right)}}
{\partial{\theta_i}}
\end{array}
\right]
=
\left[
\lefteqn{ \phantom{
   \begin{array}{c}
   -\displaystyle \frac{\partial{\bar e }}{\partial{\theta_i}} \\ [10pt]
   \displaystyle \frac{\partial{\left( S^{(6)}_{t+1} \right)}}
   {\partial{\theta_i}}
   \end{array}
}}
J^{(2)}_i
-
\left[
\begin{array}{cc}
X_i & Y_i \\
N_i & V_i \\
\end{array}
\right]
\right]
\left[
\begin{array}{cc}
R_t^{-T/2} & S_t^{(1)} \\[5pt]
0 & S_t^{(4)} \\
\end{array}
\right]^{-1}
\left[
\begin{array}{c}
\lefteqn{
\phantom{\displaystyle\frac{\partial{\left( S_t^{(3)} \right) }}
{\partial{\theta_i}}
}
}
S_t^{(3)} \\ [10pt]
\lefteqn{
\phantom{\displaystyle\frac{\partial{\left( S_t^{(3)} \right) }}
{\partial{\theta_i}}
}
}
S_t^{(6)} \\
\end{array}
\right]
+
\left[
\begin{array}{c}
\lefteqn{
\phantom{\displaystyle\frac{\partial{\left( S_t^{(3)} \right) }}
{\partial{\theta_i}}
}
}
L_i \\[10pt]
\lefteqn{
\phantom{\displaystyle\frac{\partial{\left( S_t^{(3)} \right) }}
{\partial{\theta_i}}
}
}
K_i \\
\end{array}
\right].
$$

\item[{\bf V.}]
��������� �������� ��� �������� �������~(\ref{eq:2.3})
\begin{equation}
\displaystyle \frac{\partial{l(z)}}{\partial{\theta_i}}=
-\mbox{{\bf tr }} \left[
R_{e,t}^{1/2} \
\displaystyle \frac{\partial{\left( R_{e,t}^{-1/2}\right) }}{\partial{\theta_i}}
\right]
+
{\bar e_t}^T
\displaystyle \frac{\partial{\bar e_t }}{\partial{\theta_i}},
\qquad i=1,2 \ldots p,
\label{eq:2.4}
\end{equation}
� ������ ������� ���������
$\displaystyle \frac{\partial{l(z)}}{\partial{\theta_i}}$, $i=1,2, \ldots p.$
\end{enumerate}
\end{rusalg}

��� �������������� �����, ������������� ��� ���������� ��������� ���,
��������~1 ��������� ���
������������ ``��������'' ��������� ���������� (�����):
\begin{enumerate}
\item[1.] ��������� ��� ��������, ����������� ��� ���������� ���������
���
� ������ ������� $t$, �
����� ��� ��������, ����������� ��� ������������� ����������
$(t+1)$-�� ���� ���������~1,  ����������� ����������
� ����� ���� ��������
������������, �� ��� ������ ��� ����� ���������������
� ������������ �����������, ���, ��������,
����� ��������� ��������� ����������;
\item[2.]
�������, ��� ��� ������� ������� �������
$t$, �������� ���������~1, ������������ ��������, ��� �������
��������� ���������� ��������, �������� �����������������
������� $R_t^{1/2}$. (� ������ ����
$P_0 \ne I_n$, ����� ���������� ��������� $P_0^{-1/2}$).
����� �������, ����������������� ���������~1
������������ � �������� ������ ���������� ������� $R_t^{1/2}$;
\item[3.]
��������� ������� $R_{e,t}$ � �� �������� ��������
�������� ������������, �� ��� ���������� ��������� ��� ��������
�������~(\ref{eq:2.4})
� ������ ������ ������� $t$
���������� �������� ������ �� ������������ ��������.
��� �������� ���������~1 ���������
�������� ��������� ������� ����������
������� $R_{e,t} \in \Rset^{m \times m}$ � ��� ����� ��������� �����
����� �������������� �������� �� ����������.
�������, ��� ��� �� ��������� �������� � ``������� �����'', �.~�.
�����~(\ref{eq:2.1}).
\end{enumerate}

\begin{rusremarka}
�������, ���
�������� ��������� �������
$R_{e,t} \in \Rset^{m \times m}$ ����� � � ������� �����������
���������, ��������� ��� ``������������'' ���������. ���������,
������������� ��� ����������  ���, ���������� �� ������
``������������'' ����� ��������� ��������� ������������
�~\cite{SemTsynKul2000}, \cite{SemTsy2002}.
������, ����� �, �������������, ��������~1, ����������� �� ��� ������,
�������� ���� ���������
����������.
\end{rusremarka}

������������ ���� ������������� ��������� �������� �� ��������� �������.

\begin{rustheo}
�����  �������� ������
$\Phi_t \in \Rset^{n \times n}$, $\Gamma_t \in \Rset^{n \times q}$,
$H_t \in \Rset^{m \times n}$, $Q_t \in \Rset^{q \times q}$
� $R_t \in \Rset^{m \times m}$,
��������������� ���������� �������� ������������ �������
����~(\ref{eq:1.1}), (\ref{eq:1.2}),
�������� ���������� �������� ���������
�� ����������  ������� ���������� $\theta \in \Rset^p$.
������������, ��� ������� $P_0>0$, $R_t>0$ � $F_t$ ��������.
�����  �������� ���, ����������� ��� ���������� $t$-�� ���������� $z_t$
��� ������� ��������� ���������� ����������,
����� ���� �������� � ������� ���������~1.
\end{rustheo}

\section{�������������� ������������ \label{s5}}

������� ��  �������� ��� �������� ����� ����� ���������� ��������� ���.
� ���� ����� �������� ��������~1
� ������ ���������� ������ ������������ ��������� �������� ������������
�������. � �������� ����� ����������  ������, ������������ �~\cite{BiermanBelzerVandergraft90}.

����� ������� ����~(\ref{eq:1.1}), (\ref{eq:1.2})
����������� ���������� �����������
\begin{equation}
x_{t+1}= \left [
\begin{array}{lll}
1 & \Delta t  \\
0 & e^{-\Delta t / \tau} \\
\end{array}
\right ]
x_t+ \left [
\begin{array}{l}
0  \\
1\\
\end{array}
\right ] w_t,
\label{eq:3.1}
\end{equation}
\begin{equation}
z_t= \left [
\begin{array}{ll}
1 & 0\\
\end{array}
\right ] x_t+v_t,
\label{eq:3.2}
\end{equation}
��� $Q_t=I_1$, $R_t=I_1$ � $\bar x_0=0$, $P_0=I_2$
�  $\tau$~--- ����������� ��������,
�������� �������� ���������� �������.  ��� ������� ������������ ������
�������� ����� ��������� �������������.

������ ����� �������  ��� �������� �� ��������
����� � ��������~1.
� ���� �����, �������� �������� ������������� ���
�� ������ �����~(\ref{eq:2.1}), ���������
�������~(\ref{eq:2.3}), �  ������� ���������� ��������� ��  ���������
���, ����������� �� ������ ������� ������� (��).
�����, �������� �������� ��������� ���, �� ������
``�������������������''  �� � ��������� 1.
�������� �����������~\footnote{
��� ��������������
������������ �����������
� �������������� ������������ �������
��������� ���������� MatLab}
� ��������� ��������:
1)~$\tau^*=30$~--- �������� �������� ��������� $\tau$
���  ���������������� �������~(\ref{eq:3.1}), (\ref{eq:3.2});
2)~������������� ��� � ��
�������� �������� �� ������� $\tau \in [10, 60]$.
�� ��� �����������  ���������� ����.~1.

\begin{table}
\centering
\caption{�������� ��� � �� ���������, ����������� �� ������
������� ������� � �����} \label{kul_tab1}
\begin{tabular}{|r||c|c|c||c|c|c|}
\hline
 & \multicolumn{3}{|c||}{�������� ������������� ���} &
\multicolumn{3}{|c|}{�������� ��������� ���} \\
\hline
$\tau$ & �� & ����� & $|y_1-y_2|$  &
����. �� & �������� 1 & $|y_3-y_4|$ \\
 & $(y_1)$ & $(y_2)$ & &
$(y_3)$ & $(y_4)$ &  \\
\hline
  10 & 393.3& 393.3& 1.1E-14 &-0.41&  -0.41& 6.8E-14 \\
  20 & 389.8& 389.8& 4.0E-15 &-0.22&  -0.22& 1.1E-14  \\
  30 & 388.8& 388.8& 2.0E-15 &-0.01&  -0.01& 3.8E-15  \\
  40 & 389.2& 389.2& 6.9E-16 & \phantom{-}0.08&   \phantom{-}0.08& 4.9E-15 \\
  50 & 390.1& 390.1& 1.7E-15 & \phantom{-}0.09&   \phantom{-}0.09& 2.6E-15  \\
  60 & 391.2& 391.2& 5.9E-15 & \phantom{-}0.10&   \phantom{-}0.10& 8.7E-16  \\
\hline
\multicolumn{7}{|c|}{$\tau^*=30, \qquad \hat \tau_{\min}=30, \qquad
\hat \tau_{grad}=30.$} \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}



���������� ���������� ������, ����� ������, ��� ��� ����������
���� ��������� ��� ���������� ������������� ��� � �� ���������
���������� ���� � ��� �� ���������.
����� �������, �� �������� �������������� ����������������� ���������~1,
�������������� ��� ���������� ��������� ��� �� ������ �����.

������ ��������� �����������:
$\tau^*$~--- �������� �������� ��������� $\tau$ ��� �������~(\ref{eq:3.1}),
(\ref{eq:3.2});
$\hat \tau_{\min}$~--- �������� ��������� $\tau$, ���������������
�������� ������������� ���, �.~�. ��������
������� $-L_{\theta}\left( Z_1^N \right)$;
$\hat \tau_{grad}$~--- ��������, ��� �������
�������� ��� ����� ����.

����������  ������ ����.~\ref{kul_tab1},
������� ��� ���� ������ �����, ����� ��������������
����������������� ���������~1:
�������� ��������� $\tau$, ��� ������� ��������
��� ��������� � �����,
����� ������, ���������� ������ �� �������� �������������
���, ��� � �������� ���� ������������ $\hat \tau_{grad}=\hat \tau_{\min}$.
����� ����, � ������ ������������
������ ��������� �������������
��������� � �������� ��������� ��������� $\tau$, �.~�.
$\hat \tau_{grad}=\hat \tau_{\min}=\tau^*=30$.


\begin{table}
\centering
\caption{������ ��������� ������������� ��������� $\tau$,
���������� � ������� ��, ``�������������������'' ��,
����� � ���������~1}  \label{kul_tab2}
\begin{tabular}{|r|c||c|c|c|c||c|c|c|c|}
\hline
\multicolumn{2}{|c||}{�����-} &
\multicolumn{4}{c||}{�� �} &
\multicolumn{4}{c|}{����� �} \\
\multicolumn{2}{|c||}{������} & \multicolumn{4}{c||}{``������������������'' ��}
& \multicolumn{4}{c|}{��������~1}\\
\hline
$N$ & $\tau^*$	& $\quad \hat \tau_{\min}$ & $\quad\hat \tau_{grad}$
	& $e_{a}$ & $e_{r}, \%$ &
	  $\quad\hat \tau_{\min}$ & $\quad\hat \tau_{grad}$
	& $e_{a}$ & $e_{r}, \%$ \\
\hline
$1$  &	$30$  &  $29$ &  $29$ &  $1$ & $3,33$  & $29$ &  $29$ & $1$& $3,33$  \\
$2$  &	$30$  &  $30$ &  $30$ &  $0$ & $0,00$ & $30$ &	$30$ & $0$&  $0,00$ \\
$3$  &	$30$  &  $31$ &  $31$ &  $1$ & $3,33$ & $31$ &	$31$ & $1$&  $3,33$\\
$4$  &	$30$  &  $30$ &  $30$ &  $0$ & $0,00$ & $30$ &	$30$ & $0$&  $0,00$\\
$5$  &	$30$  &  $31$ &  $31$ &  $1$ & $3,33$ & $31$ &	$31$ & $1$&  $3,33$\\
$6$  &	$30$  &  $29$ &  $29$ &  $1$ & $3,33$ & $29$ &	$29$ & $1$&  $3,33$\\
$7$  &	$30$  &  $29$ &  $29$ &  $1$ & $3,33$ & $29$ &	$29$ & $1$&  $3,33$\\
$8$  &	$30$  &  $29$ &  $29$ &  $1$ & $3,33$ & $29$ &	$29$ & $1$&  $3,33$\\
$9$  &	$30$  &  $31$ &  $31$ &  $1$ & $3,33$ & $31$ &	$31$ & $1$&  $3,33$\\
$10$  &  $30$  & $31$ &  $31$ &  $1$ & $3,33$ & $31$ &	$31$ & $1$&  $3,33$\\
\hline
\multicolumn{10}{|c|}{������� ������������� ������ ����������
$\bar e_r=2,7 \%$} \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}

�����, �������� �����, ��������� �� $10$
�������������� �������������, �� ����������� ������� ����������
����.~\ref{kul_tab2}. ������ ��������� �����������:
$e_{a}=| \tau^* - \hat \tau_{grad} |$~--- ���������� ������ ����������;
$e_{r}=| \tau^* - \hat \tau_{grad} |/| \tau^* |$~--- �������������
������ ����������. ������ �������������� � ����.~\ref{kul_tab2} ������ ��������� �������
��������� ������:
\begin{enumerate}
\item[1.]
������ ��������� �������������
��������� $\tau$, ���������� � �������
����������� ���������� �� ������ ``�������������������'' ��
��������� � �������, ���������� � ������� ���������~1;
\item[2.]
��� �����, ����������� � ������ ����� �������������
������� ����������,
������ $\hat \tau_{\min}=\hat \tau_{grad}$;
\item[3.]
��� ������ ��������� ������������� ������ � ��������� ��������
��������� �������, �.~�. � $\tau^*=30$:
������� ������������� ������
���������� $\bar e_r$ � $10$ ������������� �� ��������� $3\%$.
\end{enumerate}

����� �������, ������ ����.~\ref{kul_tab2} ��� ��� ������������ ��������� ����� ������ �
����������������� ������ ������ ���������� ��������� ���.

\section{���������� \label{concl}}

� ������ ��������� ����� ����������� ������ ���������� ���������
���, ���������������� �� ������ �����.
��� ������������� ������ ������������ ������������� ������������.


����� ���������� �������� ������������ ����.
�.�.~�������� �� ���������� �������� � �������� � ������.



\begin{thebibliography}{99}

\bibitem{BiermanBelzerVandergraft90}
Bierman,~G.~J., Belzer~M.R., Vandergraft~J.S., and Porter~D.W. {\it Maximum
Likelihood Estimation Using Square Root Information Filters},
IEEE Trans. on Autom. Contr. , Vol.~{\bf 35(12)}, pp.~1293--1298,
1990.

\bibitem{Bierman77}
Bierman,~G.~J.: {\it Factorization Methods for Discrete  Sequential
Estimation}. Academic Press, New York, 1977

\bibitem{Van60}
���-���-������, {\it �������������� ����������}. �.: ���-��
����������� ����������, 1960.

\bibitem{NewboldYu-Chi68}
P.M.~Newbold, Yu-Chi~Ho, {\it Detection of Changes in the Characteristics of a
Gauss-Markov Process}, IEEE Trans. on Aerosp. and Electron. Systems,
Vol.~{\bf AES-4(5)}, pp.~707--718,
1968.

\bibitem{ParkKailath95}
Park,~P., Kailath,~T.:
{\it New square-root algorithms for Kalman filtering}.
IEEE Trans. on Automatic Control.  {\bf 40}(5),  895--899,
1995.

\bibitem{KailathPoor98}
Kailath~T., Poor~H.V., {\it Detection of Stochastic
Processes}, IEEE Trans. on Inform. Theory, Vol.~{\bf 44(6)},
pp.~2230--2259,
1998.

\bibitem{Schweppe65}
Schweppe~F.C., {\it Evaluation of Likelihood Functions
for Gaussian Signals},
IEEE Trans. on Inform. Theory, Vol.~{\bf IT-11(1)},
pp.~61--70,
1965.

\bibitem{SemTsynKul2000}
�.�.~�������., �.�.~��������.,
�.�.~��������, {\it � ���������� ������� ������������� ��� �����������
���������� �������������������}, ������ �������
������������ ���������������� ������������,
���. ``��������������� �������� ���������� � ��������'',
���. {\bf 2(9)}, �. 93-100,
2000.

\bibitem{SemTsy2002}
Semoushin, I.V.,  Tsyganova, J.V. {\it An efficient way  to evaluate
likelihood functions in terms of Kalman filter variables}. In:
Murgu,~A., Lasker,~G.~E. (eds) Adaptive, Cooperative and
Competitive Processes in Systems Modelling, Design and Analysis,
67--74. The International Institute for Advanced Studies in
Systems Research \& Cybernetics, University of Windsor, Windsor,
Ontario, Canada, 2002.

\label{endKulikova}

\end{thebibliography}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
