Laplace transform pairs

f(t)  F(s)  f(t)  F(s)

1(t)  \frac{1}{s}  e^{at} sin(ωt + φ)  \frac{ω cos φ + (s − a) sin φ}{(s − a)^{2} + ω^{2}}

δ(t)  1  e^{at} cos(ωt + φ)  \frac{(s − a) cos φ − ω sin φ}{(s − a)^{2} + ω^{2}}

e^{at}  \frac{1}{s − a}  t  \frac{1}{s^{2}}

sin ωt  \frac{ω}{s^{2} + ω^{2}}  t^{n}  \frac{n!}{s^{n+1}}

cos ωt  \frac{s}{s^{2} + ω^{2}}  t^{n}e^{at}  \frac{n!}{(s − a)^{n+1}}

sh ωt  \frac{ω}{s^{2} − ω^{2}}  t sin ωt  \frac{2sω}{(s^{2} + ω^{2})^{2}}

ch ωt  \frac{s}{s^{2} − ω^{2}}  t cos ωt  \frac{s^{2} − ω^{2}}{(s^{2} + ω^{2})^{2}}

e^{at} sin ωt  \frac{ω}{(s − a)^{2} + ω^{2}}  t sh ωt  \frac{2sω}{(s^{2} − ω^{2})^{2}}

e^{at} cos ωt  \frac{s − a}{(s − a)^{2} + ω^{2}}  t ch ωt  \frac{s^{2} + ω^{2}}{(s^{2} − ω^{2})^{2}}

Оригинал для дробно-рациональных изображений

F(s)  f(t)  F(s)  f(t)

\frac{1}{s − a}  e^{at}  \frac{1}{s^{2}(s − a)}  \frac{1}{a^{2}} (e^{at} − 1 − at)

\frac{1}{1 + τs}  \frac{1}{τ}e^{− \frac{t}{τ}}  \frac{1}{(s − a)(s − b)^{2}}  \frac{e^{at} − [1 + (a − b)t]e^{bt}}{(a − b)^{2}}

\frac{1}{s(s − a)}  \frac{1}{a}(e^{at} − 1)  \frac{1}{(s − a)(s − b)(s − c)} \frac{e^{at}}{(b−a)(c−a)} + \frac{e^{bt}}{(a−b)(c−b)} + \frac{e^{ct}}{(a−c)(b−c)}

\frac{1}{(s − a)^{2}}  te^{at}  \frac{1}{(s − a)^{3}}  \frac{1}{2}t^{2}e^{at}

\frac{1}{(s − a)(s − b)}  \frac{e^{at} − e^{bt}}{a − b}  \frac{s}{(s − a)(s − b)^{2}}  \frac{ae^{at} − [a + b(a − b)t]e^{bt}}{(a − b)^{2}}

\frac{b + cs}{s(s − a)}  −\frac{b}{a} + (c + \frac{b}{a})e^{at}  \frac{s}{(s − a)(s − b)(s − c)} \frac{ae^{at}}{(b−a)(c−a)} + \frac{be^{bt}}{(a−b)(c−b)} + \frac{ce^{ct}}{(a−c)(b−c)}

\frac{s}{(s − a)^{2}}  (1 + at)e^{at}  \frac{s}{(s − a)^{3}}  (t + \frac{1}{2}at^{2})e^{at}

\frac{s}{(s − a)(s − b)}  \frac{ae^{at} − be^{bt}}{a − b}  \frac{1}{s(s^{2} + a^{2})}  \frac{1}{a^{2}} (1 − cos at)

\frac{b + cs}{s^{2} + a^{2}}  c cos at + \frac{b}{a} sin at  \frac{1}{s(s^{2} − a^{2})}  \frac{1}{a^{2}} (ch at − 1)

\frac{1}{s^{2} + as + b}  \frac{s}{s^{2} + as + b}

Δ = b^{2} − \frac{a^{2}}{4} > 0 \frac{1}{\sqrt{Δ}}e^{− \frac{at}{2}} sin \sqrt{Δ}t Δ = b^{2} − \frac{a^{2}}{4} > 0 e^{− \frac{at}{2}} (cos \sqrt{Δ}t − \frac{a}{2\sqrt{Δ}} sin \sqrt{Δ}t)

Δ = b^{2} − \frac{a^{2}}{4} < 0 \frac{1}{\sqrt{−Δ}}e^{− \frac{at}{2}} sh \sqrt{−Δ}t  Δ = b^{2} − \frac{a^{2}}{4} < 0 e^{− \frac{at}{2}} (sh \sqrt{−Δ}t − \frac{a}{2\sqrt{−Δ}} sh \sqrt{−Δ}t)

Δ = b^{2} − \frac{a^{2}}{4} = 0  te^{− \frac{at}{2}}  Δ = b^{2} − \frac{a^{2}}{4} = 0  e^{− \frac{at}{2}} (1 − \frac{at}{2})

\frac{b + cs}{s^{2} − a^{2}}  c ch at + \frac{b}{a} sh at