\documentclass{article}
\usepackage[cp866]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\begin{document}
\textbf{Задача.} \textit{Найти все действительные решения системы:}
$$
\left\{
\begin{array}{l}
x+y=3 \\
x^4+y^4=17.
\end{array}
\right.
$$

\textbf{Решение.} Всякая пара чисел $x$ и $y$, которая является
решением данной системы, является также парой корней некоторого
приведенного квадратного трехчлена $P(t)=t^2+pt+q$. Будем искать
этот квадратный трехчлен, т.е. его коэффициенты $p$ и $q$.

По теореме Виета $p=-(x+y)$, $q=x\cdot y$. Выразим левые части
уравнений данной системы через $p$ и $q$: $x+y=-p$,
$x^4+y^4=x^4+2x^2y^2+y^4-2x^2y^2=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2=
[(x+y)^2-2xy]^2-2x^2y^2=(p^2-2q)^2-2q^2$.\\
Подставляя эти выражения в исходную систему, мы придем к системе:
$$
\left\{
\begin{array}{l}
-p=3 \\
(p^2-2q)^2-2q^2=17.
\end{array}
\right.
$$

Из первого получаем: $p=-3$. Подставляя это значение во второе уравнение,
находим: $q_1=2$, $q_2=16$. Таким образом, мы получили два квадратных трехчлена:
$t^2-3t+2$ и $t^2-3t+16$. Пара корней каждого из них (с точностью
до порядка) и есть все решения данной системы. Корни первого квадратного
трехчлена $t_1=2$, $t_2=1$; второй квадратный трехчлен не имеет действительных
корней.

\textbf{Ответ.} $\{x_1=2,y_1=1\}$, $\{x_2=1,y_2=2\}$.

\textbf{Замечание.} Обратим внимание на одно важное свойство исходной 
системы. Если мы сделаем перестановку неизвестных, т.е. вместо
$x$ напишем $y$, а вместо $y$ напишем $x$, то каждое уравнение
данной системы не изменится. такие системы называются
\emph{симметрическими}. Метод, которым мы решили эту задачу,
годится только для симметрических задач.
\end{document}