Часть 1.

Пайтаген Х.-О., Рихтер П.Х.

Красоты фракталов.

ЧАСТЬ I

ГРАНИЦЫ ХАОСА

Там, где окружающий нас мир перестает быть ареной личных надежд и желаний, где мы как свободные существа, сомневаясь и размышляя, созерцаем его в изумлении, там мы вступаем в царство искусства и науки. Если мы описываем увиденное и известное по опыту на языке логики — это наука; если же представляем в формах, внутренние взаимосвязи которых недоступны нашему сознанию, но которые интуитивно воспринимаются как осмысленные, — это искусство. И для искусства, и для науки общим является увлечение чем-то стоящим выше личного, свободным от условного.

А. Эйнштейн

Наука и искусство — два дополняющих друг друга способа познания природы, аналитический и интуитивный. Мы привыкли считать их противоположными полюсами, но не зависят ли они друг от друга? Мыслитель, пытающийся постичь в своем сознании явления природы, стараясь свести всю их сложность к небольшому числу фундаментальных законов — не является ли он также мечтателем, погружающимся в богатство форм и воспринимающим себя частью извечного хоровода природных явлений?

Это ощущение общности, которое может испытать каждый из нас, не находит отражения в истории культуры последних двух столетий. Как будто чувствуя себя слишком стесненными рамками единой души, дух искусства и дух науки разделились. Единый Фауст стал двумя одномерными сущностями. Это разделение кажется необратимым, и сегодня уже не принимается во внимание то, что обе части вместе способствовали развитию в эпоху просвещения. Смелость в использовании своих собственных аргументов превратилась в самонадеянность. Холодный рационализм науки и технологии широко распространился и трансформировал мир до такой степени, что само существование человека оказалось под угрозой. Искусство перед этим оказалось, к сожалению, беспомощным.

Безусловно, эта напряженность оказывает воздействие и на естествознание. Многие крупные мыслители в конце концов осознавали неадекватность укоренившегося способа мышления. Несмотря на грандиозные успехи физики элементарных частиц или анализа гомологических рядов в молекулярной генетике, кредо “фундаменталистов” уже утратило свою исключительную привлекательность. Теперь уже недостаточно открыть основные законы и понять, как работает мир “в принципе”. Все более и более важным становится выяснение того, каким способом эти принципы проявляют себя в реальности. Самые точные фундаментальные законы действуют в реально существующем мире. Любой нелинейный процесс приводит к ветвлению, к развилке на пути, в которой система может выбрать ту или иную ветвь. Мы имеем дело с выбором решений, последствия которых предсказать невозможно, поскольку для каждого из этих решений характерно усиление.

Самые незначительные неточности раздуваются и имеют далеко идущие последствия. В каждый отдельный момент причинная связь сохраняется, но после нескольких ветвлений она уже не видна. Рано или поздно начальная информация о состоянии системы становится бесполезной. В ходе эволюции любого процесса информация генерируется и запоминается. Законы природы допускают для событий множество различных исходов, но наш мир имеет одну-единственную историю.

Даже в астрономии, старейшей из естественных наук, следует пересмотреть прежние представления. Когда Кеплер и Ньютон, а затем более точно Эйнштейн, объяснили раз и навсегда то, как отдельные планеты движутся вокруг солнца по своим эллиптическим орбитам, создалось впечатление, что для полного описания движения системы трех или более тел требуется просто увеличить интенсивность вычислений. Верно, что наши космические корабли могут полагаться на ньютоновы законы движения и что современные компьютеры направляют их к нужным целям, но остается верным и то, что по истечении достаточно большого периода времени траектории их движения становятся непредсказуемыми. До сих пор не получен ответ на старый вопрос об устойчивости солнечной системы. На рубеже XVIII— XIX в. считалось, что она должна быть устойчивой. В начале XX в. — после Пуанкаре — имелись основания предполагать обратное. Сегодня мы уже допускаем, что долгосрочный прогноз поведения солнечной системы (даже если ограничиться только гравитационным взаимодействием) невозможен: как говорят специалисты, уравнения являются “неинтегрируемыми”. Любая самая малая неточность в начальных условиях может позже очень сильно повлиять на последующее движение. Та сложность, которая заключается, казалось бы, в простых уравнениях (рис. 1), привела в замешательство и специалистов, и неспециалистов.

Аналогичные проблемы возникают почти во всех других дисциплинах. Одна из причин того, почему мы до сих пор не можем управлять термоядерной реакцией, заключается в том, что мы не имеем адекватного представления о хаотическом движении заряженной частицы в системе магнитных зеркал. Изучение развития яиц насекомых показывает, что и морфогенез невозможно понять, опираясь только на знание соответствующего генома и его молекулярного строения. Феноменология имеет свои собственные законы. На каждой новой ступени организации вступают в силу новые правила.

Все это не означает, что известные до сих пор законы природы неверны; это лишь означает, что трудно обнаружить все скрытое в них. Эти трудности являются общими и для небесной механики, и для физики элементарных частиц, для биологии развития и экономики. Это хорошо известно нам из повседневной жизни, но это требует совершенно новых взглядов в науке. Фундаментальные науки, смотрящие сверху вниз, должны перевести свой взгляд вверх, от основ к явлениям. Для этого требуются новые концепции, модели, которые показывали бы суть имеющихся проблем и прокладывали бы новые пути нашему мышлению. “Моделей мира”, которые превращаются в сотни уравнений при обсуждении конкретных вопросов, совершенно недостаточно. Они лишь затемняют те проблемы, которые им следовало бы осветить. Зьание добывается в борьбе ради того, чтобы отыскать существенное и представить его “в двух словах”.

Мышление в образах

Как это можно было бы осуществить, если бы диагноз Фауста оказался правильным?

... Но у природы крепкие затворы. То что она желает скрыть в тени таинственного своего покрова, Не выманить винтами шестерни, Ни силами орудья никакого.

... но, может быть, это возможно сделать с помощью дьявола?

Многие, и ученые в не меньшей степени, чем люди искусства и обеспокоенные родители, воспринимают компьютер как дьявольский инструмент. Некоторые с первого же взгляда на машину становятся ее рабами. Должна же быть на это какая-то причина.

В самом деле, это новое средство познания позволяет увидеть связи и значения, которые до сих пор были скрыты от нас. Главным образом это относится к компьютерной графике, переживающей сегодня период интенсивного развития и обогатившей наши возможности в такой степени, которая редко достигалась другими средствами науки. Она, несомненно, может подарить нам фантастические миры, окружить нас искусственными пейзажами и заставить забыть действительность. Но если использовать ее не бездумно, то она может нам помочь приподнять покров над тайнами природы.

Там, где предыдущие поколения ученых были вынуждены существенным образом упрощать свои уравнения или вообще отказываться от них, мы можем увидеть их суть на экране дисплея. Естественные процессы, представленные графически, можно постичь во всей их сложности, опираясь на нашу интуицию. При этом стимулируются новые идеи, новые ассоциации и у каждого, кто мыслит в образах, пробуждается творческий потенциал.

Математики, и особенно физики, всегда мыслили образами; даже более того, они использовали эстетические категории в качестве критерия, если не истины, то по крайней мере завершенности. Герман Вейль, один из наиболее выдающихся немецких математиков, 100-летие со дня рождения которого отмечалось в 1985 году, откровенно признавался:

“В своей работе я всегда пытался объединить истину с красотой, а когда мне приходилось выбирать между ними, я обычно выбирал красоту”.

В подобных высказываниях содержится глубокая вера в единство науки и искусства. В отзывах на наши картины довольно часто выражалась надежда на то, что это единство станет более наглядным, не похожим на ту далеко упрятанную красоту, которая доступна лишь небольшому числу посвященных, как, например, в случае теории гравитации Эйнштейна. Является ли это упрощением? Возможно. Но не в первый раз ремесло служит духу.

Преобразование уже началось. Границы между традиционными дисциплинами утрачивают отчетливость. Уже возникли центры по изучению “сложной динамики”, “нелинейных явлений” и других подобных вещей, предусмотрительно не уточняющие, какие явления — физики, химии, биологии или совершенно других областей — они рассматривают. На семинарах в этих центрах изучаются как метаморфозы растений и животных, так и проблемы физики плазмы, психологии восприятия или социального поведения. Растет уверенность в том, что процессы образования структур и самоорганизация развиваются в соответствии с небольшим числом сценариев, не зависящих от конкретной системы. В ФРГ, например, Герман Хакен из Штутгартского университета с конца 60-х годов направлял свою деятельность на создание “синергетики”. Являясь одним из основателей теории лазеров, он обнаружил, что образование внутренних структур в лазере происходит в соответствии с законами, очень напоминающими конкуренцию молекулярных видов, которую описал Манфред Эйген (Институт Макса Планка в Геттингене) в своих исследованиях ранней эволюции жизни. Синергетика целенаправленно пытается отыскивать правила, по которым возникает порядок в сложных системах.

Наши рисунки относятся к этому направлению. Они касаются хаоса и порядка, их конкуренции или сосуществования. Они показывают переход от одного к другому и то, какой изумительно сложной является область перехода вообще. И восхищение, вызываемое красотой изображенных на картинах областей, не может отвлечь нас от центрального вопроса о том, как структура границ зависит от параметров. Это приводит нас к границам другого уровня и открывает закономерности, о существовании которых несколько лет назад никто и не подозревал.

Рассматриваемые здесь процессы возникают в различных физических и математических задачах. Все они имеют одно общее — это конкуренцию нескольких центров за доминирование на плоскости. Простые границы между территориями в результате такого соперничества возникают редко. Чаще имеет место нескончаемое филигранное переплетение и непрекращающаяся борьба даже за самые малые участки.

Именно в этой пограничной области происходит переход от одной формы существования к другой: от порядка к беспорядку, от намагниченного состояния к ненамагниченному в зависимости от интерпретации тех сущностей, которые примыкают к границе. Пограничные области в большей или меньшей мере замысловато зависят от условий, характеризующих изучаемый процесс. Порой возникает третий конкурент, который пользуется разногласиями двух других и насаждает свою область влияния. Может случиться, что один центр захватит всю плоскость, но и его власть имеет “границы” в виде изолированных точек, которые неподвластны его притяжению. Это так сказать “диссиденты”, не желающие “принадлежать”.

Рисунки представляют процессы, являющиеся, конечно, весьма упрощенной идеализацией действительности. Они преувеличивают некоторые свойства, чтобы сделать их более ясными. Например, нет ни одной реальной структуры, которую можно было бы последовательно увеличивать бесконечное число раз и которая выглядела бы при этом неизменной. Тем не менее принцип самоподобия в приближенном виде имеется в природе: в линиях берегов морей и рек, в очертаниях облаков и деревьев, в турбулентном потоке жидкости и в иерархической организации живых систем. А открыл нам глаза на эту фрактальную геометрию природы Бенуа Б. Мандельброт.

На самом деле процессы, порождающие такие структуры, довольно давно изучаются в математике и физике. Это обычные процессы с обратной связью, в которых одна и та же операция выполняется снова и снова, когда результат одной итерации является начальным значением для следующей:

Единственное, что при этом требуется, — нелинейная зависимость между результатом и начальным значением, т. е. динамический закон x n+1= f(x n) должен быть более сложным, чем простая пропорциональность x n+1 = k x n. Схематическая диаграмма указывает на то, что правило х ® f{x) зависит от параметра с, влияние которого будет обсуждаться ниже.

Если начать итерационный процесс указанного вида с некоторого произвольного значения x 0, то его результатом будет последовательность x 1 , x 2 ,..., поведение которой по истечении достаточно большого периода времени и будет составлять предмет нашего интереса. Будет ли последовательность сходиться к некоторому предельному значению X, стремясь к состоянию покоя? Придет ли она к некоторому циклу значений, которые будут повторяться вновь и вновь? Или эта последовательность все время ведет себя беспорядочно, хотя и определена динамическим законом и конкретным начальным значением, но тем не менее непредсказуема?

Процессы указанного вида обнаруживаются в любой точной науке. Так, описание явлений природы с помощью дифференциальных уравнений, которое ввели около 300 лет назад Исаак Ньютон и Готтфрид В. Лейбниц, основано на принципе обратной связи. Динамический закон определяет положение и скорость частицы в данный момент времени через их значения в предыдущий момент. Движение частицы понимается как реализация этого закона. Несущественно, будет ли процесс дискретным, т. е. осуществляемым по шагам, либо непрерывным. Физикам нравится мыслить в терминах инфинитезимальных единиц времени: natura non facit saltus. Биологи, напротив, часто предпочитают рассматривать изменения от года к году или от поколения к поколению. Очевидно, допустимы обе точки зрения, а выбор подходящего описания определяется обстоятельствами.

Сценарий проникновения в хаос

Рассмотрим пример. Рост некоторой популяции за несколько лет обычно описывают при помощи коэффициента прироста, т. е. отношения ежегодного прироста численности популяции к ее общей численности. Если эта величина остается постоянной в течение всего периода времени, то говорят, что закон роста является линейным, а сам рост называют экспоненциальным. Например, при коэффициенте прироста в 5% популяция удваивает свою численность каждые 14 лет. Законы такого типа, однако, применимы только на ограниченных промежутках времени. Для роста всегда существуют пределы.

Одним из первых обратил на это внимание П. Ф. Ферхюльст, сформулировав в 1845 году закон, содержащий ограничение на рост. Он объяснил это тем, что любая экологическая ниша может обеспечить существование популяции только определенного максимального размера Х и что коэффициент прироста должен снижаться, когда размеры популяции приближаются к X. Таким образом, он пришел к необходимости рассматривать переменный коэффициент прироста. В результате этого процесс становился нелинейным, что коренным образом изменило его динамическое поведение.

Прошло более ста лет, прежде чем были осознаны все вытекающие из этого проблемы. При малых коэффициентах прироста, очевидно, ничего особенного не произойдет: численность популяции будет просто регулироваться так, чтобы достичь оптимального значения X, увеличиваясь когда она меньше его, и уменьшаясь, когда больше. Однако, как только коэффициент превысит 200%, нас ожидают сюрпризы.

Существуют ли в природе такие большие коэффициенты прироста? Конечно, человеческая популяция так быстро не растет, но для определенных видов насекомых такой коэффициент не является необычным. Важно то, что в последние 20 лет закон Ферхюльста нашел применение для значительно более широкого круга явлений, чем представлял себе сам Ферхюльст. Эдвард Н. Лоренц, метеоролог из Массачусетского технологического института, обнаружил в 1963 году, что именно этот закон описывает некоторые свойства турбулентного потока, в частности когда коэффициент велик. Затем теоретические исследования по лазерной физике, гидродинамике и кинетике химических реакций продемонстрировали принципиальный характер этого закона, и предсказанные им сценарии были обнаружены в экспериментах.

Но как же ведет себя процесс Ферхюльста, когда коэффициент становится большим? Подробный анализ дан в специальном разд. 1.

Упомянем только наиболее важные результаты. Когда параметры роста превысят 200%, становится невозможным достижение оптимальной численности X. Когда популяция мала, энергичный рост неизменно приводит к превышению оптимального размера, что вызывает ответную реакцию, в результате которого популяция уменьшается до размеров, значительно меньших X. После этого появляются устойчивые колебания между двумя размерами, большим и меньшим (см. рис. 18).

Когда параметр роста превысит 245%, происходит дальнейшее усложнение поведения. Колебания происходят сначала между 4, затем 8, затем 16 различными величинами численности популяции и так далее, до тех пор пока для параметров, больших 257%, не возникает хаос.

Что мы понимаем под хаосом? Попросту говоря, система выходит из-под контроля. Не существует способа предсказать ее поведение на длительное время. Беспорядочные скачки вверх и вниз на рис. 20 упорно продолжаются и никогда не превратятся в упорядоченную последовательность. Чтобы понять удивление, которое испытал Лоренц при этом открытии, напомним, что никакой неопределенности не предполагается. Процесс по-прежнему описывается законом Ферхюльста, последовательность определена своим начальным значением — и все же ее поведение невозможно предсказать, остается предоставить процессу развиваться самому по себе.

Эта очень тонкая ситуация требует некоторого более подробного объяснения. Утверждение о том, что последовательность определена своим начальным значением, подразумевает возможность определения последующих значений с бесконечной точностью. Это является верным только “в принципе”. Любое реальное описание начальной величины, например ее представление в компьютере, можно получить только с конечной точностью. Изучаемый процесс можно сравнить с получением информации: чем дольше мы его будем наблюдать, тем лучше будем знать в ретроспективе точную величину начального значения.

И все же наиболее впечатляющим в динамике Ферхюльста является не хаос как таковой, а сценарий, по которому порядок превращается в хаос. Имеет ли смысл точно определять значения параметров роста, при которых происходят бифуркации от колебаний периода 2n к колебаниям периода 2n+1 ? Кому это нужно?

Но педантичность часто стояла у колыбели важных открытий. Иоганн Кеплер не открыл бы эллиптической формы орбит движения планет, если бы не был обеспокоен небольшим отклонением в 8 угловых минут орбиты Марса от предсказаний теории Птоломея. Фридрих Вильгельм Бессель не смог бы определить расстояние от Солнца до ближайших неподвижных звезд, не научившись точнейшему использованию чисел и таблиц во время своего ученичества у одного из бременских торговцев. Научная работа всегда зависит от самого скрупулезного внимания к деталям даже тогда, когда становится ясной качественная сторона. А как известно всем, кому приходилось искать ошибки в какой-либо программе, для этого нет лучшего инструмента, чем компьютер.

При точном анализе точек бифуркации в процессе Ферхюльста обнаруживается закономерность, имеющая исключительное значение в мире нелинейных явлений. Закономерность касается длин интервалов значений параметра, при которых устойчивым является периодическое движение с некоторым определенным периодом. Эти интервалы сокращаются при каждом удвоении периода, причем множитель, характеризующий сокращение, приближается к универсальному значению

d 1 = 4.669201660910...,

когда период растет.

Это число, первые десятичные знаки которого были впервые опубликованы Гроссманном и Томэ в 1977 году, появляется снова и снова во многих других процессах. Оно является такой же характеристикой для сценариев удвоения периодов, как число тг для отношения длины окружности к ее диаметру. Это число называют теперь “числом Фейгенбаума”. Митчел Фейгенбаум проделал вычисления на своем калькуляторе в Лос Аламосе для целого ряда различных процессов и получил в каждом случае один и тот же множитель. Он открыл универсальность этого числа.

Это открытие вызвало невероятную активность ученых во многих областях науки. Было поставлено огромное число экспериментов, показавших, что сценарий удвоения периода действительно наблюдается во многих естественных системах. Это и начало турбулентности в потоке жидкости, и нелинейные колебания в химических или электрических сетях, и даже переход нормального ритма сердца в угрожающую жизни фибрилляцию. И мы просто не в состоянии перечислить все группы в США, Франции, ФРГ или где-либо еще, продемонстрировавшие, что существенные аспекты динамики сложных систем можно свести к поведению, пример которого дает уравнение Ферхюльста.

На теорию это оказало не менее сильное воздействие. Математики все еще пытаются до конца понять эту неожиданную универсальность. Но, по-видимому, более важно, что она породила надежду на то, что нелинейные явления не лежат за пределами систематизации и научной классификации.

Одним из первых, кто осознал важность изучения процесса Ферхюльста, был биолог Роберт М. Мэй. Еще в 1976 году он писал:

Поэтому я настоятельно советую, чтобы люди знакомились, скажем (с уравнением Ферхюльста), на раннем этапе своего обучения математике. Это уравнение можно изучать феноменологически, итерируя его на калькуляторе или даже вручную. Его изучение даже не требует всего множества сложных понятий, какие используются в элементарном анализе. Такое изучение очень обогащало бы интуитивные представления учащегося о нелинейных системах.

Для всех нас было бы лучше, если бы не только в научной работе, но и в повседневной политической и экономической жизни как можно больше людей поняло, что простые нелинейные системы не всегда обладают простыми динамическими свойствами.

Пограничные стычки: хаос, возникающий из конкуренции

Для понимания нелинейных явлений бифуркационный сценарий приобретает фундаментальное значение. Анализ процесса Ферхюльста превратил идею детерминированного хаоса в важный предмет обсуждения и выявил некоторые универсальные свойства сложных динамических процессов. Универсальность следует истолковывать правильно. Конечно, существуют и другие пути к хаосу; на самом деле были открыты и другие сценарии столь же общего характера. Понятие универсальности отчасти отражает тенденцию физиков и математиков использовать слова, звучащие многозначительно. На самом деле оно означает, что некоторое поведение является типичным, и это более или менее удивительная находка среди всего многообразия систем.

Крайне желательно установить принципы, характеризующие соотношения между индивидуальными сценариями Бенуа Б. Мандельброту это удалось сделать в 1980 году, когда он обнаружил множество, носящее теперь его имя. Это не просто причудливая фигура, которая кому-то кажется прекрасной, а кому-то безобразной; множество Мандельброта воплощает в себе более общий, чем универсальность Фейгенбаума, принцип перехода от порядка к хаосу. Здесь, как это часто бывает в математике, обнаруживается связь эстетической привлекательности с фундаментальным значением.

Идея, использованная Мандельбротом, состояла в том, чтобы вместо действительных чисел рассмотреть комплексные и наблюдать процесс x0® x1® x2... не на прямой, а в плоскости. Читателю, не знакомому с комплексными числами, отчаиваться здесь не стоит: достаточно лишь представить себе, что правило xn® f(xn) указывает, куда должна переместиться точка в плоскости, а не на прямой. Конкретный вид правила не является существенным, поскольку, как мы увидим, различные правила могут порождать то же самое множество Мандельброта. Более важным является то, что переход от порядка к хаосу описывается с более общей точки зрения. В центре внимания оказалась природа границ между различными областями. Можно представить себе центры — аттракторы, — которые ведут борьбу за влияние на плоскости; любая начальная точка ль либо в течение процесса приходит к тому или другому центру, либо лежит на границе и не может принять определенное решение. С изменением параметра изменяются и области, принадлежащие аттракторам, а вместе с ними и границы. Может случиться, что граница превратится в пыль, и такой распад представляет собой один из наиболее важных сценариев.

Процесс Мандельброта математически эквивалентен процессу Ферхюльста. Формула такая же простая:

xn +1= f(xn) = x2n + С.

Выбрав произвольное число Хо, возведем его в квадрат и прибавим константу с для того, чтобы получить Xi; затем повторим вычисления для того, чтобы получить Хг, Хз, и т. д. Это под силу каждому. Но никто не ожидал, что в таком итерировании может скрываться столько загадочной красоты.

Давайте начнем с простейшего из возможных значений константы с, а именно с = 0. Тогда при каждой итерации вычисляется точный квадрат числа: x0® x20® x04® x08® ... . Для этой последовательности в зависимости от Хо имеются три возможности:

1. Числа получаются все меньшими и меньшими, их последовательность приближается к нулю. Мы говорим, что нуль является аттрактором для процесса x® x2. Все точки, находящиеся на расстоянии меньше 1 от этого аттрактора, движутся к нему.

2. Числа становятся все большими и большими, стремясь к бесконечности. Мы говорим, что бесконечность также является аттрактором для этого процесса. Все точки, лежащие на расстоянии больше 1 от нуля, движутся к бесконечности.

3. Точки находятся и продолжают оставаться на расстоянии 1 от нуля. Их последовательности лежат на границе двух областей притяжения, в данном случае на окружности единичного радиуса с центром в нуле.

Ситуация ясна. Плоскость делится на две зоны влияния, а границей между ними является просто окружность.

Сюрпризы начнутся, когда мы выберем ненулевое значение с, например с = - 0.12375 + 0.56508i. Здесь для последовательности x0® x1® x2... также имеются три из перечисленных выше возможностей, но внутренний аттрактор (отмеченный точкой на рис. 3) уже не является нулем, а граница уже не является гладкой. На рис. 3 видно, что эта граница сильно изломана. Причем под лупой она выглядит столь же изломанной, как и без нее. Именно это Б. Мандельброт назвал фрактальной структурой такой границы. Она напоминает линию морского берега, многие естественные границы, которые становятся явно тем длиннее, чем более мелкий масштаб используется для их измерения. Одной из характерных особенностей этой границы является ее самоподобие. Если взглянуть на любой из ее поворотов или заливов, то можно обнаружить, что одна и та же форма встречается в различных местах и имеет разные размеры.

Границы такого рода в математике называют множествами Жюлиа. Во время первой мировой войны французские математики Гастон Жюлиа и Пьер Фату изучали их свойства для более общего случая рациональных отображений в комплексной плоскости (см. специальный разд. 2).

Их увлекательная деятельность оставалась в основном неизвестной даже для большинства математиков, поскольку в отсутствие современной компьютерной графики было почти невозможным передать их тонкие идеи. Например, Жюлиа и Фату было хорошо известно о самоподобии, они установили, что всю границу можно восстановить по любой произвольно малой ее части, используя конечное число итераций формулы x® x2 + с (ср. со свойством (2.8)). Но насколько проще понять это свойство, глядя на изображения, подобные показанным на рис. 3, 4, 6—15, чем с помощью рассуждений о смысле такого утверждения.

Другой общей чертой множеств Жюлиа является то, что они заключают в себе невероятно сложную динамику. На границе процесс хаотичен настолько, насколько возможно. Этого нельзя увидеть при помощи статического изображения на рис. 3, но цветное изображение на фото 20 дает большее представление об этом. Множество Жюлиа содержит неустойчивую неподвижную точку отображения x® x2 + с вместе со всеми ее прообразами; оно содержит и бесконечное число неустойчивых периодических последовательностей также вместе с прообразами, и, кроме всего этого, оно содержит хаотические последовательности точек, которые никогда не стремятся к какой-нибудь регулярности. Это можно только целиком наблюдать на дисплее компьютера “in vivo”. Можно также перевести изображение в звуки и испытать на себе влияние этой “музыки”. Одним из очаровывающих эффектов является так называемая прерывность, которая возникает, когда процесс попадает в окрестность периодической точки: одна и та же тема повторяется более или менее часто. Когда она наконец прекращается, ухо ощущает особую напряженность. Соответствующий зрительный эффект не является таким сильным.

Если опять выбрать новое значение с, скажем с = - 0.12 + 0.74i, то получим рис. 4. Здесь множество Жюлиа уже представляет собой не единственную деформированную окружность, а состоит из бесконечного числа деформированных окружностей, образующих, однако, связное множество. Внутренние точки этого множества притягиваются не одной неподвижной точкой, а циклом из трех точек, отмеченных на рисунке более крупно.

Существует правило, указывающее, какой вид имеет множество Жюлиа при каждом конкретном выборе с. Это правило и приводит к множеству Мандельброта М. Оно представлено на рис. 2 как закрашенная черным цветом часть комплексной с-плоскости. Каждое комплексное число с либо принадлежит черной структуре М, либо нет. Соответствующие множества Жюлиа процесса x® x2 + с существенно различаются. Они представляют собой связные структуры, когда с лежит внутри М, и рассыпаются на бесконечное число кусочков, когда с лежит снаружи. Поэтому граница множества М вызывает исключительный интерес. Представим себе некоторый путь в с-плоскости, начинающийся внутри М и заканчивающийся вне его. Если менять с, двигаясь вдоль этого пути, то самые драматические качественные изменения происходят с соответствующими множествами Жюлиа тогда, когда с пересекает границу М: они, как будто взорвавшись, превращаются в облако из бесконечного числа точек. В этом смысле граница множества М определяет момент математического разового перехода для множеств Жюлиа отображения х '- л-2 + с. Кроме того, различным частям М отвечают некоторые качественные утверждения о множестве Жюлиа, имеющие место для значения с из этих частей. Например, кардиоида, очерчивающая главное тело, содержит все значения с, при которых множество Жюлиа будет более или менее деформированной окружностью, охватывающей область притяжения некоторой неподвижной точки (рис. 3).

Аттрактор, сопоставляемый каждой почке на М по хорошо известной схеме, представляет собой некоторый цикл определенного периода. Значение с, соответствующее рис. 4, есть центр самой большой “луковки” сверху от основной части М. Цикл периода три появляется в результате трифуркации неподвижной точки, когда параметр с переходит из основной части в соответствующую почку. Ферхюльстов сценарий удвоения периода наблюдается на действительной оси. Период два будет устойчивым внутри большой почки, которая включает интервал -1.25 < с < - 0.75 на действительной оси и примыкает к основному телу с левой стороны. Точка с = - 2 является крайней точкой антенны множества М и соответствует значению r = 3 для процесса Ферхюльста (см. специальный разд. 1). Рисунок 5 иллюстрирует эту связь и наглядно показывает, насколько более полную картину дает выход Мандельброта в комплексную плоскость по сравнению с анализом на действительной оси.

На что же похоже множество Жюлиа для значений с из какой-либо почки множества М, примыкающей к основному телу? Один из примеров показан на рис. 6.

Значение с == - 0.481762 - 0.531657 г соответствует месту прорастания почки, дающей устойчивые циклы периода 5. Все пять точек таких циклов отщепляются от жирной точки на рис. 6, когда с переходит внутрь почки. В этой точке ветвления множество Жюлиа стягивает теперь уже маргинально устойчивый аттрактор. Это называется параболическим случаем динамики. На рис. 8 и 9 показаны еще два примера множеств Жюлиа подобного вида.

Помимо точек прорастания почек, основное тело множества Мандельброта обладает граничными точками совершенно иных типов. Для с = - 0.39054 - 0.58679i получим рис. 7; в этом случае неподвижная точка тоже будет маргинально устойчивой. В отличие от параболического случая граница не подходит к неподвижной точке, да и остальные точки при движении ее тоже не достигают. Окружности, охватывающие неподвижную точку, являются инвариантными, т. е. выбрав начальную точку на какой-нибудь из этих окружностей, мы ее уже никогда не покинем при последующих итерациях. Внутри области, ограниченной множеством Жюлиа, процесс протекает следующим образом: сначала точки перескакивают из меньших, периферийных, почек в большие до тех пор, пока не попадут внутрь диска, содержащего неподвижную точку. Этот диск назван диском Зигеля в честь немецкого математика Карла Людвига Зигеля. После того как точки попадают туда, они начинают просто вращаться вокруг неподвижной точки по своим инвариантным окружностям.

Эти четыре примера иллюстрируют все типичные случаи, когда граница, порожденная процессом x® x2 + с, охватывает область с внутренними точками. Итак:

— Если с лежит внутри основного тела множества Мандельброта, то некоторая фрактально деформированная окружность охватывает единственную притягивающую неподвижную точку (рис. 3).

— Если с лежит внутри одной из почек, то множество Жюлиа состоит из бесконечного числа фрактально деформированных окружностей, охватывающих точки периодического аттрактора и их прообразы (рис. 4, 10).

— Если с является точкой прорастания почки, то имеет место параболический случай; граница имеет усики, дотягивающиеся до маргинально устойчивого аттрактора (рис. 6, 8, 9).

— Если с является любой другой точкой границы кардиоиды или почки (имеются некоторые технические условия относительно иррациональности точки), то мы имеем диск Зигеля (рис. 7).

В фундаментальной математической работе в 1983 году Деннис Салливан показал, что указанные четыре случая описывают все возможные характерные структуры, которыми может обладать область, ограниченная множеством Жюлиа, за исключением одной. Пятая возможность, так называемые кольца Эрмана, не реализуется в случае x® x2 + с; хотя и доказано, что она реализуется в других случаях, никто ее никогда не наблюдал (см. специальный разд. 3).

На фотографиях 18, 20, 24 цвет был использован, чтобы продемонстрировать внутреннюю структуру областей притяжения (а также диска Зигеля на фото 22, 25). На фото 20 показан случай, в котором вдобавок к аттрактору на бесконечности имеется еще одна неподвижная точка. Цветовая градация показывает, сколько итерационных шагов отображения x® x2 + с требуется для того, чтобы та или иная точка попала в некоторый заранее выбранный маленький диск, содержащий аттрактор. Один и тот же цвет означает одно и то же динамическое расстояние от соответствующего центра притяжения. Таким образом, во внешней области окраска количественно характеризует движение по направлению к бесконечности, в то время как внутренняя окрашена в соответствии с направлением ограниченных движений этой области. На фото 24 представлен притягивающий цикл периода 3, на фото 18 — цикл периода 11. В случае диска Зигеля (фото 22) линии уровня движения параллельны инвариантным окружностям.

Эти примеры отнюдь не исчерпывают список всех возможных структур множеств Жюлиа; имеются и другие возможности. Как видно на рисунках, множество Мандельброта М окружено иглоподобными, более или менее разветвленными и изогнутыми антеннами. Если мы поместим с на самый конец одной из таких антенн, то получим и множества Жюлиа подобной формы. На рис. 12 показан пример с = i. Такие дендриты не имеют внутренности; аттракторов, отличных от единственного аттрактора на бесконечности, нет. Здесь множество Жюлиа представляет собой границу одной-единственной области притяжения и содержит те точки, которые не приближаются к этому аттрактору. До тех пор пока с принадлежит М, множество Жюлиа остается связным. Согласно теореме Адриена Дуади из Парижа и Джона Хамал Хаббарда из Корнелльского университета, множество Мандельброта также связно (см. специальный разд. 4).

При более внимательном рассмотрении оказывается, что каждая антенна множества М содержит множество маленьких копий большого множества М. Они как бы нанизаны на нити, и между двумя большими копиями имеется еще одна, меньшая, и так далее без конца. Окна, соответствующие устойчивым аттракторам внутри области хаотичности для процесса Ферхюльста, являются сечениями этих наростов, что отчетливо видно на рис. 5. Если поместить с в одну из этих миниатюрных копий М, то соответствующее множество Жюлиа окажется некоторой комбинацией дендрита и множества Жюлиа, полученного для соответствующего значения с из основной части М; при этом последнее копируется бесконечное число раз и насаживается на дендрит. На рис. 14 показан пример для с, принадлежащего той части множества Мандельброта, которая представлена на фото 27.

Можно наконец взять значение с вне М. Как и в случае чисто дендрито-вой структуры, единственным аттрактором будет бесконечность, но теперь множество Жюлиа распадается в облако точек, называемое пылью Фату. Эта пыль становится все мельче с удалением точки с от М. Если с находится вблизи границы М, то пыль образует завораживающие фигуры, примеры которых показаны на рис. 11, 13 и 15 и которые всегда фрактальны, самоподобны и несут в себе хаотическую динамику.

Морфология комплексных границ

Если разнообразие множеств Жюлиа кажется ошеломляющим, то насколько более запутанным казалось бы оно без множества Мандельброта! Этот путеводитель в мире параметров говорит нам о том, какого вида множество Жюлиа следует ожидать для данного значения с. Особенно интересна граница М, поскольку именно она указывает на изменение природы множеств Жюлиа. Когда параметр с покидает множество Мандельброта, множества Жюлиа теряют свою связность, взрываются и превращаются в пыль.

Значительная часть наших рисунков получена для этой пограничной зоны. Мы обнаружили там фантастический мир, богатство форм которого контрастирует почти на грани абсурда с простотой формулы x® x2 + с. Но не является ли это обычным случаем, когда разнообразие исключительно буйно расцветает на границах? Простые контуры, отражающие противоборство противоположных принципов, являются исключением. Каждый большой конфликт сопровождают тысячи малых. Таким же образом и типичной структуре границы соответствуют аналогичные структуры все меньших и меньших масштабов.

Качественный скачок, происходящий на границе множества Мандельброта, влияет и на примыкающую к границе область. На простом черно-белом изображении этого не видно, (если, например, черный цвет соответствует связным, а белый — разрывным множествам Жюлиа). Сложную динамическую структуру пограничной области можно адекватно отразить только в цвете. Даже 256 использовавшихся для наших рисунков оттенков смогли только дать слабый намек на действительную динамику. Чтобы понять ее истинную сложность, требуется интерактивное экспериментирование на графическом терминале.

Каким образом раскрашивается окрестность множества М? Представим себе, что множество изготовлено из металла и несет на себе электрический заряд. Тогда его поверхность имеет постоянный электрический потенциал, скажем 1000 В. В области, окружающей проводник, потенциал падает до нуля, и мы отмечаем линии постоянного напряжения, так называемые эквипотенциальные линии (рис. 16). Например, линия, соответствующая потенциалу в 1 В, настолько далека от проводника, что выглядит почти окружностью, так как с такого расстояния М кажется почти точечным зарядом. Линия 900 В, напротив, несколько напоминает форму М, а линия 999 В уже довольно точно повторяет его контуры. Раскраска наших рисунков соответствует этим линиям. Все точки, лежащие между двумя такими линиями, окрашены одинаково. Разные цвета дают контурную карту электростатического потенциала между границей М и бесконечностью.

Какое же отношение имеют эти эквипотенциальные линии к динамике процесса x® x2 + с? В 1983 году А. Дуади и Дж. Хаббард доказали удивительный математический факт, который говорит о том, что эквипотенциальные линии точно отражают динамику критической точки х = 0. Эквипотенциальные линии являются линиями одинакового времени убегания в бесконечность начальной точки хо = 0 (см. специальный разд. 4).

Такое соответствие между электростатической картиной и динамикой подсказывает простой способ вычисления контурных линий на компьютере. Те значения с, при которых критической точке требуется данное число итераций, чтобы оказаться вне круга радиусом 1000, заполняют промежуток между двумя эквипотенциальными линиями. По мере приближения к границе М необходимое число итераций увеличивается. Точка все большее и большее время вынуждена блуждать извилистыми путями вблизи множества Жюлиа.

Цветные фотографии 26—54 и 99—101 показывают увеличенные части границы М. (Черно-белые изображения помогают определить расположение цветных изображений на М.} Трудно поверить в то, что формула x® x2 + с содержит такую массу структур. Можно ли представить более поразительную демонстрацию огромной сложности, заключенной в простейшем законе?

Давайте теперь поразмыслим над рисунками и сделаем некоторые наблюдения. Очевидно, что каждое положение на М задает лейтмотив. При движении вдоль границы М наблюдаются постепенные вариации лейтмотива, например, если начать с рамки на фото 31 и выбирать последовательно все более изогнутые отростки, пока не возникнет морской конек на фото 36. В любом месте главная тема повторяется в бесконечном множестве вариаций. Это видно из серии наблюдений в “долине морских коньков” (фото 34—50), где вплоть до миллионнократного увеличения обнаруживаются все новые и новые созвездия “хвостов” и “глаз” морских коньков.

Другой весьма примечательной особенностью является подобие структуры некоторых деталей множества Мандельброта форме соответствующего множества Жюлиа. Множество Жюлиа на рис. 15 принадлежит значению с около хвоста морского конька (фото 42). Качественное подобие форм очевидно. Оно является настолько глубоким, что число спиральных отростков, выходящих из глаз, в обоих случаях равно 29.

В многообразии лейтмотивов морфологии множеств Жюлиа присутствует одно постоянство: само множество Мандельброта, которое проявляется снова и снова, различных размеров, но всегда одной и той же формы. Можно вспомнить генетическую организацию высших организмов: каждая клетка содержит полный геном, совокупность всех форм проявления, но в любой точке организма на самом деле проявляется только некоторая малая часть этих форм.

Мы отмечали ранее, что доказана связность множества М: ни одна из частей М не отделена от основного тела, но все они связаны вместе исключительно тонкими линиями. Именно в этом отношении нас интригуют фото 58—60. Мельчайшая деталь границы М, показанная в трех разных вариантах раскраски, дает представление о изумительной системе мостов, необходимой для обеспечения связности.

Мы приглашаем читателя, знакомясь с этими картинками, попытаться найти свои собственные ассоциации и просим извинить нас, если наши интерпретации кажутся слишком фантастическими. Естественно, у нас имеется некоторое пристрастие к результату, который как научная работа отнял много часов компьютерного времени, да и для создания цветной композиции потребовал с нашей стороны немалых усилий. И все же мы считаем, что причиной нашего восхищения является существо предмета, а именно фантастическая феноменология этих сложных границ, так и приглашающих к эстетическому наслаждению. Мы допускаем, что некоторые свойства, относящиеся к рисункам, не очень естественны. Бесконечная микроскопическая глубина, на которую, кажется, простирается самоподобие, является математической конструкцией, не существующей в реальном мире. Физические объекты редко оказываются самоподобными при увеличении более чем на четыре порядка. В биологии новые принципы самоорганизации проявляются обычно при увеличении на 2 порядка (макромолекулы имеют диаметр, примерно равный 100 атомам, простые клетки — диаметр около 100 макромолекул и т. д.). Следовательно, процесс x® x2 + с не дает точного описания реального мира. Но мы и не пытались утверждать обратное! Каждый закон имеет свою область применения, которую нужно точно определить. Область применимости линейных законов теперь недостаточна, по крайней мере в физике, поэтому появилась необходимость выяснить, как нелинейные законы могут помочь нам понять окружающий мир. На этом пути изучение квадратичного закона x® x2 + с имеет фундаментальное значение. Открытие Мандельбротом универсальной фигуры М, несомненно, является событием, влекущим за собой серьезные последствия для теории динамических систем.

Сложные ньютоновы границы

Сэр Исаак Ньютон заложил основы классической механики, оптики, исчисления бесконечно малых. Но, кроме этих основ естественных наук, он открыл еще множество менее известных методов, с пользой применяющихся и сегодня. Например, так называемый алгоритм Ньютона отыскания корней уравнения f(x) = 0 сейчас находит даже большее применение, чем раньше, поскольку вычислительные машины дают возможность с помощью этого метода получить результат значительно быстрее и точнее, чем это может сделать человек. Некоторая часть рисунков этой книги посвящена именно этому методу.

Алгоритм Ньютона — это некий остроумный прием. Он трансформирует задачу нахождения решений уравнения f(x) = 0 в динамический процесс, в котором различные решения конкурируют за начальные предположения. Чтобы начать, не требуется знать точного решения. При любом начальном значении алгоритм Ньютона приводит к значению, более близкому к одному из решений. Решения действуют как центры притяжения поля сил (одна из любимых Ньютоном тем!)

Насколько далеко простирается влияние притяжения различных центров и на что похожа граница между ними? Впервые этим вопросом всерьез занялся лорд Артур Кэли в 1879 году; но в конце концов ему пришлось оставить этот вопрос, поскольку он оказался слишком сложным. Подробности анализа Кэли и его дальнейшее развитие представлены в специальном разд. 6. Здесь все же следует отметить, что проблема, с которой столкнулся лорд Кэли, явилась для Жюлиа и Фату начальной точкой в построении великолепной теории итераций рациональных функций на комплексной плоскости.

Мы не упомянули еще одну особенность множеств Жюлиа, хотя именно она придает особое очарование таким примерам, как картинки магнитных полей на фото 6 и 10. Независимо от числа аттракторов, расположенных на плоскости, каждая точка множества Жюлиа одновременно касается областей притяжения всех аттракторов. В случае трех аттракторов каждая точка границы будет местом, в котором встречаются все три области! Все это звучит неправдоподобно, но “планета” на фото 75 показывает, как это происходит. Желтым, голубым и серым цветом окрашены определяемые алгоритмом Ньютона области влияния для корней некоторого полиномиального уравнения. Где бы ни встретились, чтобы образовать границу, две области (например, окрашенные в желтый и голубой цвета), третья область (серая) направляет туда цепочку своих сторожевых постов. Чтобы эти сторожевые посты не сформировали двусторонние границы со своими соседями, они в свою очередь окружаются цепочками островов, образуя структуры, повторяющиеся вновь и вновь до бесконечно малых размеров. Маленькая луна на фото 75 показывает обратную сторону планеты. На фото 76 та же планета раскрашена по-другому. Здесь сложная структура границы (т. е. множества Жюлиа) подчеркивается белым подсвечиванием ее центральной части.

Такое кажущееся почти невозможным построение границ между тремя “странами” можно без каких-либо математических затруднений распространить на случай 4, 5, 6.. конкурирующих областей. Граница при этом составляется лишь из точек, где встречаются 4, 5, б... стран. На фото 61 показана полярная шапка планеты, четыре области которой (красная, зеленая, синяя и желтая) устанавливают границу из четырехсторонних точек. На фото 62 та же самая область окрашена по-другому, а на фото 63 показана другая интерпретация этой структуры. Серые луны, добавленные “для красоты”, имеют такой же ландшафт, как и на фото 75.

Фотографии 90—98 показывают шаг за шагом результаты другого способа “оживления”. Фото 90 повторяет структуры фото 75 и 76 с границами, составленными из трехсторонних точек. С другой стороны, фото 98 можно уже принять за иную версию фото 61—63, где множество Жюлиа состоит из четырехсторонних точек. Последовательность изображений показывает, как на нашей фантастической планете образуются новые континенты, постепенно превращаясь, сменяя структуру, составленную из трех областей, на структуру, содержащую четыре области. Проценты указывают относительное время, прошедшее от начала оживления. Кажется, что с границами происходят какие-то кризисы: они напоминают линии разломов. На фото 89 в других красках показана исключительно интересная промежуточная структура с фото 94.

Применение метода Ньютона не ограничивается задачами в комплексной плоскости. Преимущество комплексных чисел в том, что для них хорошо разработана используемая нами математическая дисциплина, а именно теория итераций Жюлиа и Фату. Соответствующей теории для действительных функций нет. И все же некоторые из наиболее впечатляющих картин получены как раз в этом контексте. Интересующиеся их математическим содержанием могут прочитать об этом в специальных разд. 8 и 9. Очевидно, что природа фотографий 17, 19, 21, 23, 55—57, 67—74, 87, 88 отлична от природы изображений, рассмотренных до сих пор. Кажется, что процессы в комплексной плоскости порождают узоры почти в стиле барокко, в то время как итерации действительных функций стремятся к созданию более современных форм. Читатель может позабавиться угадыванием, какого вида итерации он рассматривает. Мы точно не знаем, в чем причина различий в восприятии, но должны также признать, что и чисто математические особенности этих последних картин далеко не полностью поняты