Часть 2.

Наука и/или искусство

Когда летом 1983 года у нас появилась мысль о публичной выставке “картин из теории динамических систем”, мы думали, что эстетическая привлекательность картин будет достаточной сама по себе. Какими же мы были наивными и как недооценили нашу общественность! То, что было простой забавой при нашей научной работе, вдруг стало темой самых серьезных дискуссий. Зрители потребовали объяснений, захотели понять значение всего этого. На нас вдруг свалилась обязаннось объяснять то содержание, которое выражалось этими картинами.

Некоторые наши уважаемые коллеги были обеспокоены тем, что кое-что может превратиться в искусство, не имеющее научного объяснения. С другой стороны, хорошо известный художник Фриц Мексепер из Ворпсведе, в результате долгих поисков сузивший свое восприятие мира до символических представлений, спрашивал, зачем нам нужны изображения, если у нас есть формула x® x2 + с. Искусствовед из газеты Die Zeit не считал возможным назвать наши картины искусством на том основании, что в них отсутствовал элемент выбора или свободы выражения. Один знакомый ученый, очень серьезно интересующийся поэзией и живописью как средством выражения своих глубоких переживаний, заявил, что в нашей работе не чувствуется участия творческой личности.

Мы не решаемся комментировать такие отклики. “Искусство — это ложь, позволяющая узнать истину”, — сказал Пабло Пикассо. Утверждение о том, что наш мир нелинеен и сложен, может быть и не такая уж глубокая истина; наш ежедневный опыт никогда не убеждал нас в обратном. Однако физики и математики, а вслед за ними и другие ученые умудрялись успешно ее игнорировать. Сосредоточившись на простых задачах, которые они могли решить, эти ученые оказали сильное влияние на технологию и таким образом радикально изменили облик нашей планеты Теперь, однако, начинает возникать ощущение, что требуется нечто большее, чем понимание линейных явлений. Почти одновременно в разных дисциплинах растет озабоченность тем, что о следствиях нелинейных законов известно совсем немногое. Даже для физиков оказалось сюрпризом существование хаоса в их самых простых уравнениях. Наши картины вселяют оптимизм.

Головоломные на первый взгляд, они все же показывают, что и сложное поддается систематическому изучению и что даже хаос не лишен определенных правил. Регулярность множества Мандельброта вселяет надежду на то, что в мире нелинейных явлений будут найдены более характерные сценарии. Эта надежда основывается на мощи компьютерного эксперимента, который так быстро стал одним из главных источников интуиции и вдохновения.

Но для любого инструмента требуется творческий ум, который найдет ему достойное применение. Было бы несправедливо дискредитировать наши картины, объявив их просто результатом работы машины. Это не так. Их получение предполагает даже избыток свободы выбора как в объективном, так и в субъективном смысле. Как ученые, мы выбираем необходимые нам вопросы, на которые позволяем компьютеру тратить свою мощь. После окончания работы машины мы сталкиваемтся с целой горой информации, которую в таком виде усвоить невозможно. Приходится выбирать. Существует много возможностей для того, чтобы придать этой информации подходящий для дальнейшей обработки вид. При распределении цветов, например, очень субъективным является выбор соотношения между отождествлением и различием: использование одного и того же цвета для различных точек приводит к некоторой потере информации; другие же особенности в результате тщательного подбора цветов по их воздействию на наше эстетическое чувство, наоборот, подчеркиваются.

За два года попыток представить нашу работу заинтересованной общественности самых широких кругов мы пришли к выводу, что художественная деятельность тоже может принести научные плоды. Или все клятвенные заверения математиков и физиков-теоретиков об эстетической компоненте их науки — это лишь слова? Американские математики Филип Дж. Дэвис и Рюбен Херш писали:

Слепота к эстетике математики распространена широко и именно этим объясняется, что математика считается сухой, как пыль, волнующей, как телефонная книга, далекой от жизни, как законоулоясение Шотландии XV в. Наоборот, понимание эстетики математики заставляет предмет жить прекрасной жизнью и гореть, как, по-видимому, никакое другое творение человеческого разума. Может ли эта эстетика проявиться иначе чем в самом поиске математического и естественно-научного знания?

Многие отзывы на наши предыдущие выставки укрепляли наше убеждение в том, что сближение искусства и науки могло бы принести им огромную пользу. Возможность такого сближения не следует понимать, как слепое увлечение всем новым и необычным, а следует рассматривать вполне реалистически в формах “новых средств передачи информации”, прежде всего компьютера. Компьютер больше не является принадлежностью исключительно науки и техники; подрастает молодое поколение компьютерных акробатов, которые обязательно будут развивать свои художественные амбиции. Пока не ясно, куда заведет такое развитие, и не ясно, может быть, как раз в смысле комплексной динамики: вполне определенное и детерминированное, но непредсказуемое, бурлящее в своей поворотной точке, подобно Фаусту во время омоложения в колдовском логове:

· Готовить вытяжку из трав —

Труд непомерного терпенья.

Необходим спокойный нрав,

Чтоб выждать много лет броженья.

Тут к месту кропотливый дар,

Предмет по-женски щепетилен.

Хоть черт учил варить отвар,

Но сам сварить его бессилен.

И. В. Гёте

1. Динамика Ферхюльста

Модель роста популяции

Пусть xо — начальная численность популяции, а xn — ее численность через п лет. Коэффициентом прироста R называют относительное изменение численности за год:

R = (Х n+1 - Х n)/ Х n .

Если эта величина — константа r, то закон, управляющий динамикой, имеет вид

(1.1) xn+1 =f(xn ) = (1 + r) xn .

Через п лет численность популяции будет равна xn+1 = (1 + r)n x0. Для того чтобы ограничить этот экспоненциальный рост, Ферхюльст заставил коэффициент прироста R меняться вместе с изменением численности популяции. Считая, что численность популяции, заполняющей данную экологическую нишу, не может быть больше некоторого максимального значения Х (которое можно положить равным 1), он предположил, что зависящий от размеров популяции коэффициент прироста R пропорционален величине 1 - xn , т. е. положил R = r(1---xn); константу r мы будем называть параметром роста. Таким образом, когда xn < 1, численность популяции по-прежнему растет, но лишь до тех пор, пока не будет достигнуто значение xn = 1, при котором рост прекращается.

· Закон, управляющий динамикой, теперь будет выглядеть так:

(1.2) xn+1 =f(xn ) = (1 + r) xn - r xn2

Для x0 имеются два значения, при которых численность популяции не изменяется: x0 = 0 и x0= 1. Когда x0 = 0, популяция попросту отсутствует с самого начала, а в этом случае вообще никакой рост невозможен. Однако если начальная численность хоть немного отлична от нуля, 0 < x0<< 1, то при r > 0 на следующий год она возрастет: x1» x0 + r x0. Следовательно, состояние равновесия x0 = 0 является неустойчивым. Последовательные значения x0, x1, x2 , ... растут до тех пор, пока они успешно не достигнут значения 1. Для того чтобы определить характер устойчивости состояния равновесия x0 = 1, проследим, как изменяются во времени малые отклонения d n = x n — 1. Линеаризуя (1.2), найдем

(1.3) d n+1 » (1 - r) d n ,

откуда видно, что по абсолютной величине d n+1 меньше, чем d n , когда 0 < r < 2. График на рис. 17 соответствует случаю r = 1.8, в качестве начального значения выбрано x0 = 0.1. Величина х поначалу растет, поскольку она заметно меньше 1. Но на третьем шаге ее значение уже немного выше указанного уровня. Начиная с этого момента, отклонения убывают по абсолютной величине в соответствии с (1.3), d n+1 » - 0.8 d n , и процесс приближается к нужному конечному состоянию х = 1. Однако при r > 2 соотношение (1.3) предсказывает рост отклонений 6п, и мы приходим к выводу, что состояние равновесия х = 1 теперь уже неустойчиво. Чтобы продолжить исследования, проведем эксперимент, результаты которого представлены на рис. 18. График показывает, что при r = 2.3 процесс в конце концов начинает периодически осциллировать между двумя уровнями. Это наводит на мысль рассмотреть первую итерацию соотношения (1.2), xn+2 =f(f(xn ))=f2 (xn ) , и исследовать устойчивость неподвижных точек отображения f 2. Они оказываются устойчивыми до тех пор, пока r

Переход от порядка к хаосу

С ростом r анализ соотношения (1.2) все более усложняется. Для r = 2.5 вид ломаной линии на рис. 19 позволяет заключить, что в этом случае процесс приходит к устойчивым периодическим колебаниям с периодом 4, а в дальнейших экспериментах обнаруживается последовательное удвоение периода колебаний при все ближе расположенных друг к другу значениях r. Наконец при r = 2.570 процесс вообще перестает быть периодическим. Теперь он все время прыгает около бесконечного числа значений так, что поведение процесса, несмотря на его полную изначальную детерминированность, практически невозможно прогнозировать на большие периоды времени. Подобное поведение обычно называют хаотическим. Примером может служить последовательность, показанная на рис. 20, она получена при r = 3.0 и xо = 0.1. Если rn — значение параметра роста, соответствующее п-й бифуркации (т. е. моменту, когда колебания периода 2n теряют устойчивость и устойчивыми становятся колебания периода 2n+1 ), то оказывается, что отношение длин следующих друг за другом интервалов

d n = (rn - rn-1 )/( rn +1 - rn)

сходится (это было обнаружено 3. Гроссманном и С. Томэ, а также Фейгенбаумом) к значению

d n > d = 4.669... , когда п > ?.

Конечно, в случае процесса Ферхюльста хотелось бы иметь представление о всех возможных типах поведения. Здесь окажется полезной бифуркационная диаграмма на рис. 21, отражающая зависимость динамики от параметра г. Для каждого значения г первые 5000 итераций были оставлены “в тени”, чтобы процесс успел выйти а свой аттрактор (который характеризует асимптотическое поведение, не включающее особенности переходного периода), а следующие 120 итераций были нанесены на диаграмму для того, чтобы показать природу этого аттрактора. Он состоит из одной точки при r < 2, из двух точек при 2 < r < O 6, затем из 4, 8, 16, ... точек вплоть до области хаоса, где точки аттрактора могут заполнять целые полосы.

Структура каскада бифуркаций, который Э. Н. Лоренц наблюдал за точкой хаоса r = 2.570, соответствует структуре каскада бифуркаций, предшествующего этой точке. На этот факт первыми обратили внимание Зигфрид Гроссманн и Стефан Томэ из Марбургского университета в Западной Германии: около точки r =- 3.0 имеется только одна хаотическая полоса, которая распадается при r = 2.679 на две полосы, при r = 2.593 на четыре, затем на 8, 16, 32 и т. д. до тех пор, пока к значению r = 2.570 такое удвоение не произойдет бесконечное число раз.

Рисунок 21 содержит и целый ряд других бифуркационных “деревьев”, которые также характеризуются числом 6. Внутри хаотической области видны “окна”, в которых аттрактор снова состоит из отдельных точек. Например, при г = 2.8284 возникают устойчивые колебания периода 3, которые затем удваивают период до 6, 12, 24,..., растворяясь в хаосе при r = 2.8495.

Более подробную информацию по этому вопросу можно найти в рекомендуемых нами книгах Р. Л. Девани [Del] и X. Г. Шустера [Sch].

ЧАСТЬ III

СТАТЬИ ПРИГЛАШЕННЫХ АВТОРОВ

Фракталы и возрождение теории итераций

БЕНУА Б. МАНДЕЛЬБРОТ

Всего лишь шесть лет назад! Только десять, и уже двадцать с лишним лет прошло!

Даже не верится, что лишь шесть лет назад я впервые обнаружил и описал структуру прекрасного множества, которому посвящена эта книга. И мне очень приятно, что теперь его связывают с моим именем — это большая честь!

Немногим более 20 лет прошло с тех пор, как я убедился, что между моими разрозненными набегами в пустынные и безлюдные уголки Неизведанного все же существует какая-то связь. А ведь ничего общего между ними никто не видел, кроме разве что того, что ими занимался я. И вот, около 1964 года появились признаки того, что все это когда-нибудь сложится в единую картину. К ее систематическому изучению я и присгупил. Прошло не более 10 лет с тех пор, как моя картина сложилась настолько ясно, что я смог начать работу над книгой. Для этого новой области нужно было присвоить имя. Так и появился термин “фрактальная геометриям.

Красота многих фракталов тем более поразительна, что открылась совершенно неожиданно: мы хотели построить — с чисто учебной целью — всего лишь математические диаграммы, и можно было ожидать, что они окажутся сухими и скучными. Поэт как-то написал, что Евклид обнаружил красоту, но ведь, чтобы научиться по-настоящему понимать и ценить красоту геометрии Евклида, необходимо долго и упорно тренироваться и, возможно, обладать особым даром. Напротив, трудно найти человека, равнодушного к фракталам. А многие считают, что первое знакомство с фрактальной геометрией подарило им совершенно неповторимые эстетические впечатления и обогатило новым научным опытом. В этом смысле фракталы, безусловно, оригинальны настолько, насколько это вообще возможно.

С чисто математической точки зрения ситуация представляечся более сложной и весьма интересной. Многие естественно-научные гсории начинают свое существование с того, что берут все, что можно, из уже готовых областей математики. В нашем случае таких сложившихся областей не существовало. Наоборот, именно фрактальная геометрия, созданная для нужд естествознания, совершенно неожиданно объединила несколько старых и благородных (хотя и узких) математических направлений в единый поток и пробудила от спячки еще несколько.

Исторические обзоры обычно принято начинать с отдаленного прошлого, переходя затем ближе к настоящему. Но сейчас мне бы xoi елось нарушить этот порядок. Позвольте сначала, пока мне не изменяет память, рассказать о появлении удивительного множества, исследуемого в этой книге. Некоторые из компьютерных рисунков, воспроизведенных в этом очерке, — это самые первые изображения фрактальных фигур. Сегодня они кажутся антиквариатом. И даже вчера казались устаревшими и ужасно примитивными. А в 1980 году, когда я увлекся их ителлектуальными и эстетическими откровениями, это было лучшее из того, что можно было сделать в Гарвардском университете, где я в 1979—1980 годах работал в качестве приглашенного профессора математики. В научном центре был установлен компьютер Vax (новенький и “необъезженный”), каргинки мы наблюдали с помощью электронно-лучевой трубки Tektronix, изношенной и очень слабой, а копии печатались на принтере Versatec, причем никто толком не знал, как с ним обращаться. Я тогда постоянно работал в Исследовательском центре IBM им. Томаса Дж. Уотсона в Йорктаун-Хейтс, штат Нью-Йорк, где имел академическую свободу, будучи членом совета IBM Мне кажется, что эти рисунки должны раз и навсегда рассеять впечатление о моем якобы замечательном существовании в IBM, где для научного процветания достаточно было лишь попасть в комнаты, битком набитые самым современ ным оборудованием

И еще немного в том же духе Отличные графики, сделанные в IBM для моей более ранней работы 1977 года, были получены на уже побывавшем на свалке и постоянно ломавшемся компьютере, программное обеспечение которого так никогда и не было приведено в порядок.

В 1980 году у меня был замечательный программист — ассистент Питер Молдейв, бесплатно помогавший мне по вечерам после своей основной работы

Здесь уместно вернуться немного назад, в 1978—1979 годы. Тогда в IBM со мной работал прекрасный помощник Марк Р Лафф. Я уже заинтересовался фракталами, инвариантными относительно нелинейных преобразований, хотя начинал с “самоподобных” фракталов, инвариантных относительно линейных преобразований Откуда же взялось это новое увлечение? Дело в том, что на меня произвел сильное впечатление написанный Ж Адамаром некролог Анри Пуанкаре. Он, собственно, и привлек мое внимание к нескольким заброшенным областям математики, в которых можно было ожидать появления любопытных фракталов совершенно неизвестной структуры

Вначале мы исследовали объект, рассмотренный впервые самим Пуанкаре в 1880 х годах, а именно “предельное множество группы Клейна”. Нас занимала, если говорить точнее, следующая родственная задача- на плос кости дано несколько окружностей. Необходимо описать структуру множества, инвариантного (не изменяющегося) при обычных инверсиях относи тельно любой из этих окружностей Другими словами, произвольно взятая начальная точка подвергается бесконечной цепочке инверсий относительно заданных окружностей, и задача состоит в том, чтобы описать фигуру, к которой бесконечная цепочка инверсий “притягивает” эту начальную точку

К моей радости и удивлению моих способностей в прикладной математике хватило, чтобы отыскать явную конструкцию. И хотя сейчас конструкция кажется почти очевидной, она неизменно, начиная с 1880-х годов, ускользала от чистых математиков.

Затем мы довольно беззаботно стали забавляться, строя один за другим примеры фигур, известных как “множества Жюлиа”. Они возникли в рамках так называемой “теории итераций рациональных отображений комплексной плоскости”. Тогда, в 1979 году, эта теория пребывала в спячке, пройдя пик своего расцвета где-то в 1918 году, когда появились знаменитые работы Ж. Жюлиа и П. Фату. Что же заставило нас вернуться к этим работам? В 20 лет я прочел или просмотрел их по совету моего дяди — известного “чистого” математика, специалиста по комплексному анализу, и это здорово повлияло на мою дальнейшую жизнь. Еще тогда, в 1945 г., мне удалось благодаря этим работам отойти от шаблона, которому обычно следуют при изучении математики. А благодаря тому, что Жюлиа был одним из моих учителей в Политехнической школе, мой образ мыслей не изменился. Через 35 лет мне довелось сыграть ведущую роль в возрождении теории итераций, и это, хотя и очень поздно, приблизило меня к основному руслу современной математики, причем настолько, что я и сам этого не ожидал.

Мы накопили прекрасные изображения множеств Жюлиа в больших количествах (рисунок одного из таких множеств был независимо от нас построен и показан нам Дж. X. Хаббардом. И очень приято было спустя столько лет ощущать, в чем в действительности состоял смысл открытий Жюлиа и Фату. Кроме того, практически все множества Жюлиа оказались чрезвычайно красивыми.

Однако время игр и забав вскоре прошло, и я поставил перед собой серьезную задачу: выбрав семейство рациональных отображений с одним комплексным параметром, я решил исследовать, в каких областях лежат значения параметра, для которых динамика отображения сходится к устойчивым предельным циклам различных размеров. Назовем это множество М'. Мне почему-то казалось, что нужно исследовать достаточно сложное отображение, чтобы получить множество М' с богатой структурой (я заметил потом, что каждый из новичков, за которым я наблюдал, пытался действовать точно так же). Я решил рассмотреть отображение z ® c(1+z2) 2 / z(z2 –1) и убедиться в том, что существуют значения параметра, приводящие к гарантированному хаосу. При с = 1/4 такое изображение было изучено Сэмю-элом Латтесом, и его динамика, как известно, хаотична. Я же хотел исследовать его для произвольных комплексных значений с. Для этого отображения не было критерия существования устойчивого предельного цикла, и мы запустили на компьютере исследовательский алгоритм, получив в результате очень размытую, но с весьма сложной структурой “тень” множества М'. На рис. 63 приведено полученное позднее изображение этого множества. И хоть тогда, в 1979 году, мы увидели только размытые пятнышки, этого оказалось достаточно, чтобы понять, что игра стоит свеч и что поставленной цели гораздо легче достичь в более простом случае.

Поэтому я и вернулся вновь к квадратичному отображению z ® z2 - с. Оно всегда имеет устойчивую неподвижную точку на бесконечное ги, и поэтому наиболее интересной задачей была классификация неподвижных циклов, являющихся ограниченными. Кроме того, квадратичное отображение — самое простое и к тому же единственное, для которого все зависит от значений единственного параметра.

В начале 70-х годов стали широко известны исследования П. Дж. Мирберга для действительных с. Они продолжали развиваться в различных направлениях. Но никто — и это поразительно — не стал заниматься их расширением на комплексную плоскость. Я чувствовал, что известные свойства действительных квадратичных отображений обеспечаг постоянную проверку результатов в случае комплексных с. Мне также казалось, что для максимально быстрого продвижения к цели я могу, ничего не опасаясь, избрать более короткий путь исследований, строгое математическое обоснование которого было выше моих аналитических способностей, и фактически даже сейчас оно является неполным.

В 1906 г. Фату удалось показать, что для некоторых с бесконечно удаленная точка притягивает всю комплексную плоскость, кроме множества Жюлиа, которое является очень “тонким” и образует то, что теперь называю! “фрактальной пылью”. Пыль не может быть границей какого бы то ни было множества независимо от его типа, и, следовательно, искомое множество М' должно быть подмножеством множества таких с, для которых множество Жюлиа не является пылью, т. е. связно.

Именно последнему множеству (обозначим его М) присвоили мое имя. Я выбрал это множество потому, что Жюлиа дал прямой критерий, который особенно легко запрограммировать для квадратичного отображения:

с принадлежит М тогда и только тогда, когда точка Zo = 0 (так называемая “критическая точка”) не стремится к бесконечности. Для первой проверки использовалось квадратичное отображение в альтернативной форме z ® z(1 - z). После нескольких итераций на решетке с большим шагом мы обнаружили, что множество М включает в себя очень грубые очертания двух кругов |l |<1 и |l -2|<1.

Два алгебраических подхода подтверждали, что эти круги должны находиться именно здесь, а значит, наш метод работал. Кроме того, на действительной оси, слева и справа от вышеупомянутых кругов, мы увидели нечеткие очертания круглых вкраплений, которые я сейчас и называю “атомами”. Оказалось, что они разделены интервалами, известными из теории Мирберга, и это вдохновило нас на еще более смелые вычисления. Кстати, любое улучшение качества расчетов приводило ко все более четко сфокусированным картинкам. А чтобы увидеть, как атомы образуют иерархию, в которой к каждому из них прикреплены меньшие, мне потребовалось еще и воображение. Мы убедились, что точки, в которых большие кругообразные атомы несут на себе меньшие, такие как и ожидалось. И таким образом нам открылись геометрические реализации не только знакомой последовательности парных бифуркаций Мирберга, но и любой другой последо вательности бифуркаций произвольного порядка.

Затем, однако, счастье, по-видимому, нам изменило картинки, вместо того чтобы становиться все точнее и резче, становились, казалось, все бес порядочнее Ошибки ненадежного дисплея Tektronix Чтобы убедиться в этом, я ненадолго съездил в Йорктаун Мы пропустили нашу Гарвардскую программу через компьютерную сеть IBM, получили рисунок, который был затем опубликован в верхней части иллюстрации 189 моей книги 1982 г. Беспорядок не исчез! Наоборот, и вы сами можете в этом убедиться, в нем появились признаки систематичности Мы сразу же попробовали посмотреть на все это вблизи И когда изображение было увеличено, многие пятнышки исчезли, как и ожидалось, но некоторые не только не исчезли, но и обнаружили сложную структуру. Оказалось, что они обладают “побегами”, очень напоминающими характерные для всего множеова М Мы с Питером Молдейвом не могли сдержать своего волнения Чю то заста вило нас переделать все вычисления для эквивалентного отображения z ® z2 — с, и здесь оказалось, что основной континент множества М имеет ту же форму, что и каждый из островов! Затем мы сосредоточились на “побегах”, отвечающих бифуркациям различных порядков, и сравнили соответствующие близлежащие острова Как оказалось, они лежат на пересе чениях звездных областей и логарифмических спиралей! Рис 64 представля ет собой пример, соответствующий 100-кратной бифуркации, построенный с помощью компьютерной сети IBM летом 1980 года (копии псча1ались на Tektronix)

Наряду с этими увеличенными изображениями множества М, мы продолжали строить изображения множеств Жюлиа для значений параметра с, лежащих внутри молекул-островов Картина, которую мы наблюдали, казалось, распадалась на множество мелких островков, каждый из которых представлял собой уменьшенный вариант множества Жюлиа для соответ ствующего значения с в молекуле-континенте множества М (рис 65) Одна ко из критерия Жюлиа следует, что это подобие обманчиво В то время как внутренние части островов перекрываться не могут, просвет между ни ми должен быть частично заполнен меньшим островом и i д до бесконечности В конце концов острова должны соединиться своими береговыми линиями, образуя “дьявольский” полимер с невидимыми (из за того, ччо точность вычислений, естественно, ограничена решеткой) “связями”

Мы продолжали делить время между множеством М и некоторыми из множеств Жюлиа J, пока не сделали захватывающее открытие Я заметил, что множеству М всегда принадлежит рекорд по числу точек в предельных циклах. Оно также имеет таинственный “иероглифический” характер вклю чает в себя полный набор деформированных и уменьшенных версий всех множеств Жюлиа

Для понимания структуры множества М особое значение имело одно из характерных утверждений теории Мирберга, уже установленное к 1980 г , а именно то, что действительная ось пересекает цепь островов, принадлежащих М, и соединяет их по береговым линиям уже описанным для некоторых множеств Жюлиа “дьявольским” способом Это наводит на мысль, что звездоподобные структуры, обнаруженные вне действительной оси, также возникают из-за того, что множество М представляет собой связный “дьявольский” полимер.

Столкнувшись с этим, я стал действовать слишком осторожно, что бы ло совершенно не в моем характере и, к счастью, это быстро прошло Воз можно, что это проявилось во мне после года, проведенного среди “чис тых” математиков. Поясню подробнее

На протяжении моей карьеры, изобиловавшей подъемами и падениями, я всегда приветствовал разнообразные и часто противоречивые влияния, откладывавшие слой за слоем “осадки”, которые часто влияли на меня весьма своеобразно. Обычно я невосприимчив к обвинениям, выдвигаемым математиками в том, что я использую недостаточно строгие аргументы, но в этом случае я позволил математической стороне моей научной натуры взять верх. Хотя мне и не удалось в 1980 г. доказать, что мое множество М является связным, мне все же следовало бы сделать такое утверждение, основываясь на экспериментальных наблюдениях. Но мне не хватало сме лости. В это время я писал статью, которая появилась в конце 1980 i. и стала весьма хорошо известной. Одна часгь этой pa6oibi вошла в мои доклад, который я сделал в Нью-Йорке в декабре 1979 года, а друая (как это обычно и бывает) представляла собой новые разрабо1ки. Однако вместо того, чтобы обсудить множество М в той форме, в какой оно изуча лось, я ввел в этой работе некий неудобный суррогат, свойства коюрого мог описать математически более точно.

Связность множества М была, таким образом, представлена как вопрос, на который нужно найти ответ, но не как утверждение, требующее доказательства. И вплоть до своей книги 1982 г. я так и не вернулся к правильным убеждениям. А вскоре и вопрос о публикации стал проблематичным, так как А. Дуади и Дж. X. Хаббард доказали связность множества М и продол жали его чрезвычайно подробно исследовать.

Меня просили изложить в этом очерке все так, как мне запомнилось, но думаю, что вряд ли кто-нибудь ожидал, что я буду писать о себе столь откровенно. Позвольте мне продолжить в том же ключе рассказ о том, как было введено понятие фрактала, так как его появление было связано со многими случаями нелегкого, и в то же время волнующего взаимодействия различных сторон личности ученого. В 1975 г. я придумал термин фрактал, чтобы дать название моей первой работе в этой области. Однако я не стал приводить математическое определение, чувствуя, что это понятие, как и хорошее вино, требует выдержки, прежде чем оно будет “разлито по бутылкам”. Все фигуры, которые я исследовал и называл фракталами, в моем представлении обладали свойством быть “нерегулярными, но самоподобньши”. Слово “подобный” не всегда имеет классический смысл “линейно увеличенный или уменьшенный”, но всегда находится в согласии с удобным и широким толкованием слова “похожий”. Широкое толкование было необходимым, чтобы включить, например, множества Пуанкаре и Жюлиа, о которых шла речь выше. Формулировка “нерегулярный, но само подобный” была попыткой втиснуться между двумя возможностями, к которым эти теории сводились ранее. Первую из них иллюстрирует теория Евклида, исследующая исключительно упорядоченные и гладкие фигуры (элементы кривых у Евклида всегда самоподобны, но тривиальным образом: все кривые являются локально прямыми, а прямая всегда самоподобна). Другая старая возможность была связана с фигурами произвольной сложности и неупорядоченности. Сегодня эти фигуры заслуживают наименования “геометрически хаотичных”, но тогда, называя их, я использовал менее удачный латинский эквивалент “erratic” (беспорядочные). Моя атака в новой области имела целью разделить на части понятие хаоса. Одна часть при этом так и осталась нетронутой, поскольку мы не знаем, как ее исследовать. Вторая же, хотя и менее общего вида, но весьма внушительная, заслуживает быть выделенной. Ее следовало бы изучить, хотя бы в силу многочисленных примеров самоподобия в природе, а еще потому, что именно из-за самоподобия она вполне поддавалась изучению.

Но когда в 1975 г. я писал свою работу, различие между “упорядоченным” и “неупорядоченным” хаосом еще не было центральным местом. На той стадии было необходимо добиться признания хаоса, акцентируя внимание на различиях между гладкими и негладкими фигурами. Я был вынужден подчеркивать эти различия очень тщательно, определяя фракталы формальным образом. Очень давно мне довелось случайно познакомиться с представлением о хаусдорфовой размерности, и я развил в себе интуитивное понимание этого понятия. Для подавляющего большинства действующих математиков оно было каким угодно, но уж никак не интуитивным, а фактически весьма туманным, хотя одновременно и классическим — для нескольких работавших с ним ученых. И если бы мне не удалось развить эти знания и интуицию, кто знает, может быть и не было бы фрактальной геометрии.

Позже я понял, что фактически моя интуиция всегда работала с различными формами более общей концепции того, что я называю “фрактальной размерностью”. Сила понятия фрактальной размерности по Хаусдорфу в том, что она позволяет различать категории “гладкий” и “хаотичный”. Слабость же ее в том, что не удается различить категории “нерегулярный, но самоподобный” и “геометрически хаотичный”. Это происходит из-за того, что определение является весьма общим, что и требуется для математики. Но для конкретной области науки общий характер этого определения оказывается чрезмерным: оно становится не только неудобным, но и совершенно неподходящим.

Впрочем эта особенность вовсе не была очевидной в 1975 г., когда я шокировал ученый мир, использовав дробную размерность для моих самоподобных моделей. Я ринулся под защиту существующего определения и в 1977 г. провозгласил существование множеств с дробной хаусдорфовой размерностью, или, другими словами, с размерностью, больше топологической. Это определение не смогло охватить многие “пограничные фракталы”, но тем не менее с его помощью удалось более или менее точно провести границу “против” Евклида. Но граница “против” настоящего геометрического хаоса оставалась широко открытой! Я знаю, что определения значат немного, но это еще поддавалось улучшению.

И вот наконец наш экскурс в историю привел нас к отдаленным корням событий, происходивших двадцать с лишним лет назад. Согласно наиболее строгим стандартам, принятым для философов и историков, лишь немногие мысли являются совершенно новыми. Если разработка не является важной, то ее претензии на новизну не заслуживают специального изучения. В то же время важные результаты — а фрактальная геометрия, похоже, такова — всегда нуждаются в серьезной проверке. Еще до того, как она утвердила себя, я подверг ее интеллектуальные основания проверке по самым жестким меркам и полностью изложил результаты в своих книгах. Что касается вклада фрактальной геометрии в науку и эстетику, то вывод таков: даже намека на нее до моих работ не существовало. Причем почти полное отсутствие непризнанных предшественников очень удивляе). Историческое исследование позволило обнаружить лишь несколько неизвестных ссылок (Ж. Перрен, Г. Штейнгауз и некоторые другие), в которых отмечалось, что хаос требует изучения, но эти мысли развития не получили.

С другой стороны, в моей книге цитируются мноше жаменитые математики, работавшие в период 1875—1925 годов, включая Пуанкаре, Кантора, Пеано, Хаусдорфа, Серпинского. Не считаю ли я поэтому, чю фрактальная геометрия была “открыта” его лет назад? Вовсе нет. Я цитирую этих авторов потому, что у меня имеются и серьезные похвалы, и не менее серьезные упреки к ним. Я отдаю им должное за ю, что они изобрели ряд конструкций, которые мне в конце концов удалось объединить и коюрые оказались бесценными. А упреки связаны с тем, что им не удалось увидеть и развить родство своих построений, что они видели в каждой из своих конструкций “монстра”, “исключительное множество”, из-за чего их действительное значение было полностью упущено. Исторический контекст помогает объяснить, почему моя фрактальная геометрия оказалась для всех совершенно неожиданной, и особенно для тех, кто занимался математической дисциплиной, именуемой “действительным анализом” и родившейся из тех же конструкций около 1900 года. Я льщу себя надеждой, что эти удивительные идеи вскоре будут казаться “естественными” и “неизбежными”.

Закончу на этом. Мои воспоминания об истории фракталов недавно были опубликованы в более полном виде. Да и подробности, о которых я рассказал, не имеют прямого отношения к этой великолепной книге, для которой, еще не успев насладиться ею, я написал свое эссе.

Свобода, наука и эстетика

ГЕРТ АЙЛЕНБЕРГЕР

Пожалуй, это самый оригинальный из поводов, по которым меня просили высказать свое суждение. Весьма необычным для ученых, занимающихся естественными науками, представляется то упорство, с каким они пытаются донести свои результаты и понимание до широкой публики А форма, которую они избрали, еще необычнее! Абстрактному сухому и многословному изложению сути проблемы они предпочли рисунки; это соединение математики и искусства обладает непосредственным воздействием на зрителя и вызывает всеобщее восхищение. Хотя я и не могу внести свой непосредственный вклад в эту специфическую область, я нахожу содержание этой книги вдохновляющим. Мне бы хотелось высказать несколько своих философских размышлений о том, каково может быть значение этих работ для понимания Вселенной с физической точки зрени

Занятия естественными науками можно сравнить со строительством монументального здания, скажем Кельнского собора. Мы, ученые, строим такое здание собора — Научную картину Вселенной. И хотя результаты наших усилий, как и Кельнский собор, находят практическое применение — цель нашей работы, как она была бы выражена в средние века, — прославление Господа! И только с помыслами, подобными этому, люди мoгут построить собор, а не фабрику. И точно так же, как неизвестны сегодня имена строителей средневекового собора (ибо значение имеет лишь дело их рук, но не они сами), так и вклад большинства ученых остается анонимным Собор — это общее дело, а ученые — подмастерья мощной бригады строителей или, рассматривая их деятельность во всемирном масштабе, они — братья всемирного ордена, в котором личные амбиции уходят на второй план перед великим общим делом

Впрочем, есть и существенная разница между научной деятельностью и строительством настоящего собора: собор строится по чертежам, а развитие науки нельзя спланировать заранее! Всегда можно ожидать сюрпризов! Так, например, чрезвычайно неожиданными для физика (хотя, возможно, не для математика) оказались приведенные здесь рисунки. Их нельзя рас сматривать только как результат тривиальных компьютерных игр, прият ных, но не имеющих более глубокого смысла. Напротив, математические и физические идеи, с помощью которых возникают такие изображения, — это, по моему разумению, самое волнующее научное открытие со времени появления 60 лет назад квантовой механики.

Эти идеи должны вновь революционизировать научную картину мира. Наш собор будет полностью преображен — утратив готическую холодность, он приобретет причудливые барочные очертания!

Старая картина мира, кредо ученого, была сформулирована французским математиком и астрономом Лапласом около 200 лет назад. Её можно изложить так:

· “Если представить себе сознание, достаточно мощное, чтобы точно знать положения и скорости всех объектов во Вселенной в настоящий момент времени, а также все силы, то для этого сознания не будет существовать никаких секретов. Оно сможет вычислить абсолютно все о прошлом и будущем, исходя из законов причины и следствия”

В таком детерминистском мире не существовало бы ни свободы, ни случайности. Действия банковского грабителя и произведения художника были бы предопределены заранее.

Ученые фактически никогда не принимали эту, несколько отдающую кальвинизмом, предопределенность повседневной жизни. Но в своей научной работе им очень трудно было избавиться от этого детерминизма, поскольку именно он порождал утверждение, что любое наблюдаемое явление имеет (хотя бы в принципе) научное объяснение, а от этой аксиомы ни один ученый легко не откажется! Даже великие революционные открытия первых десятилетий нашего века в физике, связанные с именами Планка, Эйнштейна и Гейзенберга, лишь перенесли этот конфликт на более высокий математический уровень, не решив его окончательно.

Исследователи, впрочем, всегда были весьма либеральны, интерпретируя кредо Лапласа. Даже наиболее тщательно поставленный эксперимент никогда в конце концов не бывает полностью изолирован от влияния окружающей среды, а состояние системы ни в один момент времени не может быть известным точно. Абсолютная (математическая) точность, о которой говорил Лаплас, физически недостижима — небольшие неточности будут всегда, и это принципиальный момент.

Но вот во что ученые действительно верили, так это в то, что почти одинаковые причины будут давать почти одинаковые следствия, причем как в природе, так и в хорошо поставленном эксперименте. Это чаще всего именно как и происходит, особенно для коротких временных отрезков, в противном случае было бы невозможно установить какой-либо закон природы или же построить реально работающую машину.

Но это весьма, казалось бы, правдоподобное предположение оказывается справедливым не всегда; более того, оно неверно для больших промежутков времени даже в случае нормального (типичного) течения природных процессов! В этом, если сказать кратко, смысл захватывающего прорыва, осуществленного при исследовании так называемых динамических систем.

Произведения искусства, содержащиеся в этой книге, можно интерпретировать как красочные изображения систем такого типа, на которых показаны движения, т. е. изменения со временем, некоторых математических величин, которым могут соответствовать определенные физические (экспериментально измеримые) величины. Эти изменения происходят в соответствии с простыми и ясными правилами, похожими на законы природы. Тонкая структура этих узоров выражает тот факт, что мельчайшие отклонения в начале движения могут привести через определенное время к гигантским различиям. Другими словами, самые незначительные причины вызывают через некоторое время огромные последствия. Конечно же, такое иногда встречается и в нашей повседневной жизни, а исследования динамических систем показали, что для природных процессов это типичное явление.

Но какое это имеет отношение к свободе, т. е. к возможности в принципе принимать не предопределенные заранее решения? Ведь на такой возможности зиждется наше представление о себе, как о разумно действующих существах, а не автоматах. Начнем с того факта, что мыслительным процессам, протекающим в нашем мозгу, и, в частности, сознанию соответствуют электрофизиологические процессы в нервных клетках и что сознание — это фактически внутреннее отражение некоторых из этих процессов. Если в соответствии с описанным выше грубым физическим детерминизмом наши действия могут быть предугаданы, исходя из приближенно известного начального состояния нервных клеток, то и невозможность не предопределенной заранее воли может, хотя бы в принципе, быть установлена эмпирически. Но сейчас уже стало известно, что пустяковая, неизмеримо малая разница в начальных состояниях может привести к совершенно разным конечным состояниям (т. е. решениям), и физика уже не позволяет эмпирически установить невозможность свободной воли.

Однако мы все же не смогли избавиться от антиномии Канта о невозможности свободы. Нам удалось опровергнуть грубый детерминизм реальной физики, но отнюдь не детерминизм Лапласа. Последний исчезает, если проследить причинную цепочку назад — к причинам, различие между которыми становится все менее заметным. Исчезновение детерминизма происходит, когда возникают онтологические вопросы теории познания о пределах применимости математики как средства адекватного отражения реальности. Я верю, что такие пределы существуют. Но прежде чем приступить к обоснованию своей позиции, мне бы хотелось сделать небольшое отступление.

Огромные успехи точных математических наук привели к появлению среди ученых, особенно среди физиков, веры в то, что все реально наблюдаемое в их опытах подчиняется законам математики вплоть до мельчайших деталей. Установление математических законов, которым подчиняется физическая реальность, было одним из самых поразительных чудесных открытий, сделанных человечеством. Ведь математика не основана на эксперименте, а порождена человеческим разумом, как и Афина, рожденная из головы Зевса.

Математическое познание выводимо, т. е. его основные элеменнты связаны между собой, но это познание априори. Когда же физик использует свои знания для предсказаний и на основе нескольких экспериментов, проведенных в конкретное время и в конкретном месте, и подходящей теории пытается объяснить явления природы, происходящие в совершенно другом месте и в совершенно другое время, и такие предсказания сбываются, то это граничит с чудом. Физик при этом лишь с удовлетворением заключает, что, по-видимому, теория верна. Но почему, собственно говоря, реально существующий мир должен подчиняться теории, математической структуре?

Кант дал на этот вопрос остроумный ответ: само наше восприятие выстраивает действительность следующим образом, т. е. только то, что отражается нашим разумом и воспринимается как реальность, подчиняется математическим законам. О внешнем мире мы не знаем ничего (или “Вещь в себе”).

Как ни разумна эта идея, мне она кажется неверной. Я разделяю идеи эволюционной теории познания, которая восходит к физику Людвигу Больцману и была развита в дальнейшем, в особенности после работ Конрада Лоренца.

Основная мысль такова: в смирительную рубашку математики одевает природу вовсе не наша чувственная или познавательная деятельность, а сама Природа в ходе своего эволюционного развития вкладывает математику в наш разум как реально существующую структуру, неотъемлемую от нее самой. Менее абстрактно: в мозгу обезьяны, от которой мы произошли, должно было реально существовать очень точное понимание геометрии пространства, если она не хотела упасть с дерева и сломать себе шею. Точно гак же можно утверждать, что развитие наших способностей к абстрагированию и манипулированию логическими символами должно быть ориентировано на реально существующие структуры реального мира.

Способности к математике — это часть зафиксированного генетически видового опыта, априорного для индивидуума и апостериорного для вида в целом.

Однако широкий спектр способов математического описания природы выглядит чудом. Наука все еще не достигла ясно различимых пределов применения математических методов, хотя я и не могу отделаться от подозрения, что некоторые парадоксы, возникающие при интерпретации квантовой механики, могут указывать на такие пределы. Эта широта тем более поразительна, что наши математические способности (если эволюционная теория познания справедлива) приобретались нашими предками путем опытов с довольно грубыми структурами и объектами повседневного мира.

Совершенно очевидно, что наши геометрические и логические возможности простираются далеко за пределы окружающего мира. А это означает, что реальный мир подчиняется математическим законам в значительно большей степени, чем нам известно сейчас.

Но даже если эти структурные (математические) принципы экстраполируются все более глубокими конструкциями и теоремами, то и в этом случае просто невероятно, чтобы действительность с исчерпывающей полнотой отражалась математическими конструкциями — от огромных космологических размеров и до самой последней микроскопической детали.

Физику-теоретику нелегко с этим согласиться, но в эволюционной теории познания фактически неизбежно возникает предположение о том, что математические способности вида “гомо сапиенс” принципиально ограниченны, так как имеют биологическую основу и, следовательно, не могут полностью содержать все структуры, существующие в действительности. Иными словами, должны существовать пределы для математического описания природы.

Таким образом, детерминизм Лапласа не может быть абсолютным, и вопрос о случайности и свободе вновь открыт!

Но картины, представленные на этой “выставке”, можно рассматривать и с другой точки зрения — они просто прекрасны! Хаотический компонент, заметный в очень мелких структурах, не захватывает всю картину. Существуют большие регулярно упорядоченные области, причем порядок и хаос гармонически сбалансированы друг с другом.

Эта смесь порядка и беспорядка в самом деле поразительна и, что самое важное, типична для природных процессов. Теория динамических систем дает здесь ответ на другой, эмоциональный вопрос: почему все, что производит промышленность, вообще весь технический мир кажется столь неестественным, хотя и является продуктом естественных наук?

Почему все же силуэт изогнутого бурями дерева без листьев на фоне вечернего неба воспринимается как нечто прекрасное, а любой силуэт высоко функционального университетского здания таким не кажется, несмотря на все усилия архитектора?

Ответ, как мне кажется (пусть даже это немного и надуманно), должен быть дан с помощью новых подходов к динамическим системам. Наше ощущение прекрасного возникает под влиянием гармонии порядка и беспорядка в объектах природы — тучах, деревьях, горных грядах или кристалликах снега. Их очертания — это динамические процессы, застывшие в физических формах, и определенное чередование порядка и беспорядка характерно для них.

В то же время наши промышленные изделия выглядят какими-то окостеневшими из-за полного упорядочения их форм и функций, причем сами изделия тем совершеннее, чем сильнее это упорядочение. Такая полная регулярность не противоречит законам природы, но сейчас мы знаем, что она нетипична даже для весьма “простых” естественных процессов. Здесь мы имеем дело с искусственно созданной пограничной линией природы, с патологическим случаем, если хотите.

Можно спросить: если это наблюдение и в самом деле является столь неожиданным, то не мог ли некий непредвзятый наблюдатель увидеть то же самое где-нибудь в другом месте? Вопрос правильный, но мы, ученые, не были (если я имею право так говорить о своих коллегах) непредвзятыми наблюдателями! Мы строили наши концепции (и предубеждения) типичного поведения природных систем, наблюдая за искусственными системами, которые и выбраны-то были именно из-за своей регулярности. Полная упорядоченность была предварительным необходимым условием для математического описания процесса. И только появление мощных компьютеров сняло эти ограничения. Ожидалось, что компьютеры наведут полный порядок и дисциплину во всех областях жизни, но именно они дали возможность лучше понять гармонию и хаос.

И еще одна причина волнения, связанного с этими картинами: они показывают, что можно без труда установить внутреннюю связь, перебросить мост между рациональным научным познанием и эмоциональной эстетической привлекательностью. И эти два способа познания человеком мира начинают сближаться в своей оценке того, что представляет собой природа. Более того, наука и эстетика согласны в том, что именно теряется в технических объектах по сравнению с природными: роскошь некоторой нерегулярносги, беспорядка и непредсказуемости. Понимание этого может здорово помочь нам в том, чтобы придать человеческое лицо технологии, от которой все больше зависит наше выживание.

Пайтаген Х.-О., Рихтер П.Х. Красоты фракталов. - М., 1993, - С.17-37, 39-42, 131-140, 155-160.