После запуска Mathcad на рабочем столе Windows 95/98/NT появляется основное окно системы с советом дня — окном Tip of the day (рис. 7.1), которое позволяет ознакомиться с основными возможностями Mathcad. Для переключения тем служит кнопка Next Tip, а для перехода к работе с Mathcad — кнопка Close. Окна Mathcad имеют стандартные средства управления.

Рис. 7.1. Окно системы Mathcad 2000 Professional

Сразу после запуска система готова к созданию документа с вычислениями. Первая же кнопка панели инструментов New Worksheet позволяет инициировать подготовку нового документа с заданным стилем. Соответствующее ему окно получает название Untitled: N, где N = 1,2,3... В окне редактирования видны курсор ввода в виде красного крестика и вертикальная черта, отделяющие текущую страницу от соседней (справа). Для установки курсора ввода требуется щелкнуть на нужной точке мышью. Курсор ввода намечает места ввода блоков текущего документа, которые мы рассмотрим позже.

В основном интерфейс пользователя системы Mathcad достаточно характерен для систем компьютерной математики (см. главу 5). Поэтому ниже описаны лишь его специфические детали. Одна из них — характерная вешка в начале панелей, которая позволяет перетаскивать панели мышью, делая их “плавающими” или “приклеивая” к любой стороне окна (рис. 7.2).

Рис. 7.2. Основные элементы интерфейса системы Mathcad

В строке меню системы Mathcad, помимо уже описанных позиций, имеются два характерных для Mathcad меню: Math — управление процессом вычислений и Graphics — работа с графикой.

Элементы управления панели инструментов Mathcad (см. рис. 7.2) перечислены ниже.

Элементы управления панели форматирования (см. рис. 7.2) перечислены ниже

В нижней части окна системы находится строка состояния системы. Если система не выполняет действий, то в этой строке появится надпись Press F1 for help — нажми клавишу F1 для вызова окна справочной системы.

Рис. 7.3. Окно Mathcad 2000 со всеми палитрами математических знаков

Рис. 7.4. Вид типичного документа Mathcad

Для ввода текстовых блоков достаточно ввести символ " (одна двойная кавычка — не путайте с одиночной кавычкой или апострофом). В появившийся прямоугольник можно начать вводить текст. Он редактируется стандартными приемами. Для англоязычных текстов предусмотрен даже орфографический контроль с применением встроенного словаря.

Уже из этих простых примеров (и рис. 7.4) можно заметить особенности работы с Mathcad:

Таким образом, даже без вмешательства пользователя Mathcad пытается придать математическим выражениям обычный вид. На рис. 7.4 показано также окно форматирования результатов вычислений. Введите в поле Number of decimal places число 15 вместо 3, и получите результат с 15 знаками после десятичной точки.

Ввод сложных операторов (например, вычисления сумм, произведений, интегралов и т. д.) облегчается благодаря выводу шаблона нужного оператора с местами ввода — черными квадратиками. Можно щелкнуть на нужном месте ввода и ввести данные. На рис. 7.5 показано последовательное заполнение мест ввода в шаблоне вычисления определенного интеграла и в ряде других шаблонов.

Рис. 7.5. Примеры последовательного заполнения шаблонов

Шаблоны ряда операций вводятся с клавиатуры символами, которые напоминают вид оператора хотя бы в первом приближении. Например, оператор квадратного корня вводится клавишей \, шаблон определенного интеграла — клавишей &, знак произведения ряда — клавишей # и т. д. В то же время знак суммы членов ряда вводится комбинацией клавиш Ctrl+Shift+F4.

С помощью мыши с нажатой левой кнопкой строится расширяющийся прямоугольник выделения из пунктирных линий. Попавшие в него блоки выделяются также пунктирной линией. Они образуют блок выделенных объектов, который можно перетаскивать, копировать в буфер обмена и удалять.

При задании сложных вычислений работа системы может быть долгой. Для прерывания работы можно нажать клавишу Esc. Mathcad выведет окно с сообщением о прерывании вычислений и двумя кнопками: ОК — подтвердить прерывание и Cancel — отменить прерывание. После прерывания можно возобновить работу, нажав клавишу F9 или щелкнув на кнопке Calculate панели инструментов (кнопка с изображением жирного знака равенства).

Функции имеют параметры (аргументы), которые записываются в круглых скобках после имени функции. Функции могут иметь один параметр, например sin(x) или cos(0.5), два параметра, например ln(m,х), или даже несколько параметров. Параметры могут иметь численное значение, быть константой, определенной ранее переменной или математическим выражением, возвращающим численное значение.

Mathcad позволяет строить следующие типы графиков:

Построение графиков в системе Mathcad предельно упрощено. Так, для графика функции f(х) достаточно ввести функцию и затем — шаблон графика (с помощью команд меню Insert или панели инструментов). После этого в место ввода на шаблоне графика надо вставить имя переменной х. После щелчка вне шаблона график будет построен (первый график на рис. 7.6).

Выделив график, его можно перетаскивать и менять его размеры. В выделенном графике появляются места ввода для задания пределов по осям, что позволяет изменить масштаб графиков.

Для контурных графиков параметрически заданных функций надо ввести шаблон трафика и задать два выражения — по осям X и Y. Для графиков функций двух переменных надо ввести функцию f(х,у), выбрать нужный шаблон графика (в палитре графиков) и в месте ввода задать имя функции f. Построение таких графиков также показано на рис. 7.6 (графики 2-6).

Вид графика зависит от его форматирования. Команды форматирования сосредоточены в меню Format Окна форматирования можно также вызывать с помощью контекстных меню, появляющихся при щелчке правой кнопкой или при двойном щелчке на области графика. Для наиболее сложных трехмерных графиков предусмотрена возможность задания графика со всеми нужными параметрами форматирования с помощью Мастера — команда 3D Plot Wizard меню Insert.

В Mathcad есть возможность построения на одном графике ряда поверхностей. На рис. 7.7 показан пример построения графика пересекающихся параболических поверхностей — одна из них поднята по вертикали, а другая опущена. Обратите внимание на запись функций z1(x,y) и z2(x,y).

Рис. 7.7. Построение двух пересекающихся объемных парабол

Вид трехмерного графика зависит от того, как он развернут относительно точки просмотра. Помимо задания углов обзора из окна форматирования графиков, Mathcad позволят вращать графики мышью. При нажатой клавише Ctrl можно мышью удалять или приближать объект к наблюдателю. При нажатой клавише Shift можно мышью инициировать анимированную (“живую”) картину вращения графика. Для остановки вращения надо щелкнуть левой кнопкой мыши.

Рис. 7.8. Панель трассировки ошибок

К специальным, предварительно определенным переменным относятся системные переменные.

Данные могут быть размерными, то есть характеризоваться не только своим значением, но и указанием физической величины, значение которой они хранят (рис. 7.9). Для задания единицы измерения размерной переменной можно использовать окно размерных величин, которое появляется при щелчке на кнопке панели инструментов с изображением мерной кружки. Можно также вызвать это окно, выбрав команду Units в меню Insert.

Рис. 7.9. Примеры задания и применения размерных переменных

В Mathcad используются также так называемые ранжированные переменные, имеющие множественные значения:

Name := Nbegin..Nend

Здесь Name — имя переменной, Nbegin — ее начальное значение, Nend — конечное значение, .. — символ, указывающий на изменение переменной в заданных пределах (он вводится клавишей точки с запятой ;). Если Nbegin < Nend, то шаг изменения переменной будет равен +1, в противном случае -1 (например, k:= 5 .. 0).

Для создания ранжированной переменной общего вида используется выражение

Name := Nbegin, (Nbegin + Step)..Nend

Здесь Step — заданный шаг изменения переменной (он должен быть положительным, если Nbegin<Nend, или отрицательным в противном случае). Заметим, что Mathcad позволяет задавать и ранжированные размерные переменные, каждый компонент которых — размерная величина.

Обычный вид имеют операторы сравнения и (в Mathcad 2000) логические (булевы) операторы.

Mathcad может успешно использоваться в физических и измерительных установках для обработки данных эксперимента. Для этого Mathcad имеет специальный тип данных — файловые данные. Работу с ASCII-файлами обеспечивают следующие функции:

Функции READ, WRITE и APPEND в версии Mathcad 8/2000 сохранены только ради совместимости с программами предшествующих версий Mathcad. Их применение не рекомендуется, хотя и вполне возможно. Основными являются функции:

Рис. 7.10 иллюстрирует эффективные возможности Mathcad по занесению данных в файл и их последующему считыванию.

Рис. 7.10. Основные операции с данными файлового типа

В Mathcad 8.0/2000 PRO данные файлового типа существенно расширены. С новыми функциями файлового типа можно ознакомиться с помощью справочной системы.

Имеется ряд типовых функций комплексного аргумента: arg(z) — вычисление аргумента; csgn(z) — возвращает, если z=0, 1, если Re(z)>0 или Re(z)=0 и Im(z)>0, и -1 в других случаях; signum(z) — возвращает 0, если z=0, и z/|z| в ином случае; Im(z) — выделение мнимой части z; Re(z) — выделение действительной части z.

Следующие примеры иллюстрируют работу с элементарными функциями:

ехр(1) = 2.718
sin(1) = 0.841
asin(2) = 1.571 + 1.317i
angle(1,1) = 0.785
z := 2+3i
cos(z) = 4.19+ 9.109i
signum(z) = 0.555 + 0.832i

Обратите внимание на то, что большинство элементарных функций может работать с комплексным аргументом в виде числа z = а + b•i (i или j надо определить как мнимую единицу).

Несколько функций Mathcad относятся к комбинаторике и теории чисел:

Аргументы этих функций задаются целыми числами, и работа с ними очевидна.

В Mathcad 8.0/2000 PRO было введено около 50 новых функций. Среди них ряд функций Бесселя, гипергеометрические функции и др. Особо следует отметить вычисление ортогональных многочленов Эрмита Неr(n, х), Якоби Jac(n, a, b, х), Лaгeppa Lag(n, х), Лежандра Leg(n, x) и Чебышева Тсheb(n, x) и Ucheb(n, х). Примеры работы с этими функциями даны ниже:

I0(0.5) = 1.063
Yn(5,1) = -260.406
Неr(5,1) = -8
Tcheb(3, 2) = 26
Ucheb(3, 2) = 56

При загрузке символьного процессора система допускает использование ряда дополнительных специальных функций: FresnelC(x) — интеграл Френеля С(х); FresnelS(x) — интеграл Френеля S(x); Ci(x) — интегральный косинус; Si(x) — интегральный синус; Ei(x) — интегральная показательная функция; dilog(x) — дилогарифм; erf (z) — интеграл ошибок для комплексного аргумент z и др. Например, при получении символьного значения интеграла с подынтегральной функцией sin(x)/x с помощью оператора символьного вывода —> получим

В данном случае значение интеграла представлено как интегральный синус Si(x). К сожалению, статус этих функций необычен, они могут фигурировать в результатах символьных операций, но недоступны в качестве операндов.

К числовым функциям с условиями сравнения относятся: ceil(x) — наименьшее целое, большее или равное х; floor(x) — наибольшее целое, меньшее или равное х; round(x, n) — округленное значение вещественного х с точностью до n знаков после десятичной точки (если n<0, х округляется слева от десятичной точки); Ф(х) — функция Хевисайда, которая возвращает 0 при х<0 и 1 в ином случае; 6(m, n) — функция, именуемая символом Кронекера, возвращающая 1 при m=n и 0 в ином случае. Назначение этих функций довольно очевидно. К примеру, функция Хевисайда может использоваться для задания прямоугольного импульса с шириной w:

pulse(t,w) := Ф(t) - Ф(t-w)

Довольно широкие возможности дает функция if для создания условных выражений:

if(условие, выражение 1, выражение 2)

Если в этой функции условие выполняется, то будет вычисляться выражение 1, в противном случае — выражение 2. Заметим, что эта функция широко распространена в языках программирования, и ее работа очевидна.

Для контроля типа переменных служат следующие функции:

Работа этих функций вполне очевидна, и мы не будем комментировать ее более подробно.

Функции пользователя в Mathcad задаются в виде

Имя(список параметров);=тело функции

Список параметров задается перечнем переменных, разделенных запятыми. Эти переменные являются локальными, то есть действуют в пределах тела функции. Примеры задания функций:

fun(x) := 5•(1 - ехр(х))

Mathcad допускает обращение к функции пользователя внутри тела этой функции. Это означает возможность задания рекурсивных функций, порой заметно упрощающих реализацию различных алгоритмов. Функция if также позволяет создавать рекурсивные алгоритмы:

fact(n) := if(n=0, 1, n•fact(n-1))
fact(0) = 1
fact(5) = 120

Этот пример носит чисто познавательное значение, поскольку в Mathcad для вычисления факториала имеется оператор — n!. Другой пример иллюстрирует функцию, порождающую линейно спадающее периодическое пилообразное колебание Р(х) с периодом Т:

Хотя рекурсия — мощный математический прием, в большинстве случаев более эффективным является решение задач без ее применения.

Массивы — важный тип множественных данных с доступом к любому его элементу. Mathcad работает с одномерными массивами — векторами и двухмерными — матрицами. Массивы могут содержать как числовые, так и символьные данные. В Mathcad 2000 векторы и матрицы отображаются в длинных скругленных скобках.

Векторы и матрицы можно задавать путем ввода их элементов — индексированных переменных. Для задания векторов и матриц можно воспользоваться командой Matrices меню Math, нажатием клавиш Ctrl+V или щелчком на кнопке с изображением шаблона матрицы. Это вызывает вначале появление диалогового окна, в котором надо указать размер матрицы, то есть количество ее строк m и столбцов n.

Встроенные векторные и матричные функции облегчают решение задач линейной алгебры и других сфер приложения векторов и матриц. Приведем основные векторные функции, входящие в систему Mathcad: length(V) — число элементов вектора; last(V) — номер последнего элемента; max(V) — максимальный по значению элемент вектора (или матрицы); min(V) — минимальный по значению элемент вектора (или матрицы); Re(V) — вектор действительных частей вектора с комплексными элементами; Im(V) — вектор мнимых частей вектора с комплексными элементами. Примеры:

V := ( 2 6 3 4 1)^T
length(V) = 5
max(V) = 6
last(V) = 4
Re(V)^T =(26341)

В профессиональные версии Mathcad включен ряд дополнительных матричных функций:

Есть также функции сортировки элементов векторов и матриц: sort(V) — сортировка значений по возрастанию; reverse(V) — сортировка значений по убыванию; csort(M, n) — перестановка строк матрицы М таким образом, чтобы отсортированным оказался n-й столбец; rsort(M, n) — перестановка столбцов матрицы М таким образом, чтобы отсортированной оказалась n-я строка.

Рис. 7.11. Решение системы линейных уравнений

Для решения этой задачи есть и встроенная функция lsolve(A, В), которая возвращает вектор X для системы линейных уравнений А•Х=В (см. последний пример на рис. 7.11).

Часто зависимости вида у(х) представлены отдельными узловыми точками. При кусочно-линейной интерполяции вычисления дополнительных точек выполняются по линейной зависимости. Для этого используется функция linterp (VX, VY, x). Для заданных векторов VX и VY узловых точек и заданного аргумента x функция linterp(VX, VY, x) возвращает значение функции при ее линейной аппроксимации.

Часто хорошие результаты дает сплайн-аппроксимация отрезками кубических полиномов, проходящих через три смежные узловые точки. Коэффициенты полиномов рассчитываются так, чтобы непрерывными были первая и вторая производные. Линия, которую описывает сплайн-функция, напоминает по форме гибкую линейку, закрепленную в узловых точках (откуда и название аппроксимации: splain — гибкая линейка). Для осуществления сплайн-аппроксимации система Mathcad предлагает следующие функции:

Сплайн-аппроксимация проводится в два этапа. Вначале с помощью функций cspline, pspline или lspline отыскивается вектор вторых производных функции у(х), заданной векторами VX и VY ее абсцисс и ординат. Затем для каждой точки вычисляется у(х) с помощью функции interp.

При линейной аппроксимации график оказывается слишком грубым — отчетливо видны точки перегибов. В то же время сплайн-аппроксимация, несмотря на малое число точек (даже если их 5 или 6), дает прекрасные результаты: график функции оказывается плавным и точки его перегиба вообще незаметны.

С помощью системы Mathcad можно проводить наиболее распространенные статистические расчеты с данными, представленными векторами их значений. Существует также ряд статистических функций для скалярного аргумента. С них и начнем обсуждение статистических расчетов.

Помимо уже упомянутой гамма-функции, широко применяемой в статистических расчетах, существуют следующие встроенные статистические функции скалярного аргумента х: cnorm(x) — кумулятивная нормальная функция; erf(х) — функция ошибок (или интеграл вероятности); rnd(x) — функция генерации случайных чисел с равномерным распределением; corr(VX, VY) — коэффициент корреляции двух векторов — VX и VY; cvar(X, Y) — коэффициент ковариации X и Y. Через функцию erf(х) легко вычисляется дополнительная функция ошибок erfc(x) = 1- erf(x).

Рис. 7.12. Работа со случайными числами

При достаточно большом количестве случайных чисел вид гистограммы приближенно говорит о законе их распределения.

Функции для плотности вероятности распределения представлены следующим набором:

Функции распределения дают вероятность того, что случайная величина будет иметь значения, меньшие или равные определенной величине. Они представлены аналогичным набором функций и отличаются от приведенных тем, что первой буквой имени является буква р, а не d (например, pbeta(x, s1, s2) и т. д.). При экстраполяции используются отрезки прямых, проведенных через две крайние точки.

Следующая группа задает обращения (квантили) функций распределения случайных величин. Они начинаются с буквы q — qbeta(p, s1, s2) и т. д. и позволяют по заданной вероятности вычислить такое значение х, при котором вероятность равна или меньше заданного значения р. Последняя группа статистических функций служит для создания векторов с определенными законами распределения значений их элементов. Они начинаются с буквы r — rbeta(m, s1, s2) и т. д. Указанные функции есть и в более ранних версиях Mathcad. Набор статистических функций в Mathcad 2000 PRO несколько расширен. С дополнительными функциями можно ознакомиться с помощью справочной системы.

Другой широко распространенной задачей обработки данных является представление их совокупности некоторой функцией у(х). Задача регрессии заключается в получении параметров этой функции такими, чтобы функция приближала бы облако исходных точек (заданных векторами VX и VY) с наименьшей среднеквадратичной погрешностью.

Чаше всего используется линейная регрессия, при которой функция у(х) имеет вид y(x) = a + b•х и описывает отрезок прямой. К линейной регрессии можно свести многие виды нелинейной регрессии при зависимостях вида у(х). Для проведения линейной регрессии в систему встроен ряд приведенных ниже функций: corr(VX, VY) — возвращает скаляр — коэффициент корреляции Пирсона; intercrpt(VX, VY) — возвращает значение параметра а (смещение линии регрессии по вертикали); slope(VX, VY) — возвращает значение параметра b (угловой коэффициент линии регрессии).

Как видно на рис. 7.13, прямая регрессии проходит в “облаке” исходных точек с максимальным среднеквадратичным приближением к ним. Чем ближе коэффициент корреляции к 1, тем точнее представленная исходными точками зависимость приближается к линейной.

Рис. 7.13. Пример линейной регрессии

В Mathcad реализована возможность выполнения линейной регрессии общего вида. При ней заданная совокупность точек приближается функцией вида

F(x, K₁, K₂, ..., K_n)=K₁•F₁(x)+K₂•F₂(x)+...+K_n•F_n(x)

Рис. 7.14. Пример линейной регрессии общего вида

В Mathcad введена и функция для обеспечения полиномиальной регрессии при произвольной степени полинома регрессии: regress(VX, VY, n). Она возвращает вектор VS, запрашиваемый функцией interp(VS, VX, VY,x), содержащий коэффициенты многочлена n-й степени, который наилучшим образом приближает “облако” точек с координатами, хранящимися в векторах VX и VY (рис. 7.15). Для вычисления коэффициентов полинома регрессии используется функция submatrix. На практике не рекомендуется делать степень аппроксимирующего полинома выше 4-6, поскольку погрешности реализации регрессии сильно возрастают.

Рис. 7.15. Полиномиальная регрессия

Под нелинейной регрессией общего вида подразумевается нахождение вектора К параметров произвольной функции F(x, К1, К2, ..., Кn), при котором обеспечивается минимальная среднеквадратичная погрешность приближения “облака” исходных точек. Для проведения нелинейной регрессии общего вида используется функция genfit(VX, VY, VS, F). Она возвращает вектор К параметров функции F, дающий минимальную среднеквадратичную погрешность приближения функцией F(x, К1, К2..... Кn) исходных данных. F должен быть вектором с символьными элементами, причем они должны содержать аналитические выражения для исходной функции и ее производных по всем параметрам. Вектор VS должен содержать начальные значения элементов вектора К, необходимые для решения системы нелинейных уравнений регрессии итерационным методом. На рис. 7.16 показан пример выполнения нелинейной регрессии общего вида с помощью нелинейной функции F(x, a, b)=a•exp(-b•x)+a•b.

В Mathcad 2000 PRO введен ряд новых функций регрессии:

В примере на рис. 7.17 регрессия реализуется функцией sinfit. Подобным образом можно реализовать и другие варианты регрессии.

Рис. 7.17. Пример синусоидальной регрессии

Рис. 7.18. Сглаживание данных, полученных генератором случайных чисел

Рис. 7.19. Применение функции предсказания — экстраполяции

Функция предсказания обеспечивает высокую точность при монотонных исходных функциях или функциях, представляемых полиномом невысокой степени. Кроме того, что иллюстрируется рис. 7.19, она неплохо предсказывает и функции, содержащие явную колебательную компоненту.

Многие уравнения, например трансцендентные, и системы из них не имеют аналитических решений. Однако они могут решаться численными методами с заданной погрешностью (не более значения, заданного системной переменной TOL). Для простейших уравнений вида F(x)=0 решение находится с помощью следующей функции:

root(выражение, имя переменной[,а,b])

Эта функция возвращает значение переменной, при котором выражение равно 0, с заданной точностью. Функция реализует вычисления итерационным методом, причем можно задать начальное значение переменной, как показано ниже:

Можно также (только в Mathcad 2000) задать интервал от а до b поиска корня. В записи функции root квадратные скобки указывают на необязательные параметры — вводить эти скобки не нужно! Возможно решение систем нелинейных уравнений — в этом случае параметры функции надо задавать в векторной форме.

Для поиска корней обычного полинома р(х) степени n Mathcad содержит очень удобную функцию polyroots(V). Она возвращает вектор всех корней многочлена (полинома) степени n, коэффициенты которого находятся в векторе V, имеющем длину, равную n+1. Пример:

Здесь найдены корни многочлена 4-й степени. Из них два корня действительные, два другие комплексно-сопряженные.

При решении систем нелинейных уравнений используется специальный вычислительный блок, открываемый служебным словом — директивой Given и имеющий следующую структуру:

Начальные условия (вида var := value)
Given
    Уравнения (вида expr_left = expr_right)
    Ограничительные условия (вида х>0 и т. д.)
    Выражения с функциями Find, Minerr, Maximize и Minimize

Возможно задание уравнений и ограничительных условий в векторной форме.

В блоке используется одна из следующих двух функций: Find(v1, v2, ..., vn) — возвращает значение одной или ряда переменных для точного решения и Minerr(v1, v2, ..., vn) — возвращает значение одной или ряда переменных для приближенного решения методом наименьших квадратов. Рис. 7.20 иллюстрирует решение задачи на поиск точек пересечения параболы и прямой. В нашем случае с помощью функции Find решается система из двух уравнений (одно из них нелинейное) с ограничительными условиями, задающими область поиска корня (х<0 для отрицательного корня и х>0 для положительного корня).

Рис. 7.20. Вычисление координат точек пересечения параболы и прямой

При использовании функции Minerr для решения систем нелинейных уравнений надо проявлять известную осторожность и обязательно предусматривать проверку решений. Нередки случаи, когда решения могут оказаться ошибочными, чаще всего из-за того, что из нескольких корней система предлагает нереальный (или не представляющий интереса) корень. Полезно как можно точнее указывать начальные приближения к решению.

Система Mathcad позволяет реализовать вычисления, осуществляемые по рекуррентным соотношениям, — это когда значение некоторой функции находится по одному или нескольким предшествующим ее значениям (см. пример ниже на числа Фибоначчи):

Как известно, два первых числа Фибоначчи определены как 1, а последующие есть сумма двух предыдущих. Результат задан как вектор-строка чисел Фибоначчи. Более актуальна задача реализации вычислений, в том числе итерационных, с их окончанием по некоторому заданному условию. Для этого система Mathcad содержит специальную функцию вида

until(выражение 1, выражение 2)

Она позволяет повторять вычисления с возвратом значения выражения 2 до тех пор, пока выражение 1 больше или равно 0. В противном случае вычисления прекращаются. Ниже показано действие этой функции на другом классическом примере — вычислении квадратного корня из числа а итерационным методом Ньютона:

i := 0..12 q₀ := 1
err := .01 а := 64

q^T = (1 32.5 17.235 10.474 8.292 8.005 8 0)

Этот пример позволяет наглядно проследить динамику схождения к точному результату вычислений по итерационной формуле Ньютона. В общем случае рекуррентные вычисления могут осуществляться по нескольким формулам, причем возможно перекрестное применение в них переменных. Такого рода вычисления в системе Mathcad необходимо реализовать в векторной форме (рис. 7.21). В этом случае уточнение значений переменных идет не по строкам, а по столбцам.

Рис. 7.21. Динамика протекания процесса эпидемии (параметр р характеризует меры профилактики)

Возможны и более сложные реализации рекуррентных и других подобных вычислений. Например, к ним сводится решение систем дифференциальных уравнений любыми разностными методами, например Эйлера, Рунге — Кутта и др.

Рис. 7.22. Пример решения задачи линейного программирования

Ниже дан пример на поиск минимума и максимума с применением функций Maximize и Minimize.

Функции Maximize и Minimize могут успешно применяться при решении задач линейного программирования, которые широко используются в экономических и производственных расчетах. На рис. 7.22 представлен пример решения такой конкретной задачи с соответствующим описанием ее постановки:

Приведенный пример показывает, что введение в Mathcad 8/2000 новых функций оптимизации Maximize и Minimize расширяет круг решаемых системой задач при минимальных затратах времени на подготовку средств их решения.

Переход от некоторой функции f(t) к параметрам ее ряда Фурье (амплитудам и фазам гармоник) называется прямым преобразованием Фурье, а обратный переход — обратным преобразованием Фурье. В Mathcad использованы специальные методы быстрого (или дискретного) преобразования Фурье (БПФ или ДПФ).

На рис. 7.23 показан пример на применение прямого и обратного преобразований Фурье. Здесь для преобразования использована сложная трехкомпонентная функция, содержащая две синусоидальные компоненты и компоненту в виде случайных чисел. Прямое БПФ переводит временное представление функции в частотное и позволяет строить спектр сигнала. Обратное преобразование восстанавливает из спектра временной образ сигнала. На левом рисунке показан как исходный сигнал, так и восстановленный после прямого и обратного БПФ.

Рис. 7.23. Пример БПФ для сложной функции

Помимо описанных функций Mathcad содержит ряд функций альтернативного преобразования Фурье. Они записываются прописными буквами: FFT, IFFT, CFFT и ICFFT. При альтернативных преобразованиях используются иные нормирующие множители. Выражения, определяющие суть преобразований Фурье, можно легко найти в справочной базе данных системы.

Для численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) в Mathcad введены следующие функции:

Рис. 7.24 иллюстрирует технику решения системы из двух дифференциальных уравнений и представление решения в виде фазового портрета колебаний, которые описывает рассматриваемая система уравнений, а также временных зависимостей решения.

Рис. 7.24. Решение системы дифференциальных уравнений с применением функции rkfixed

Много других примеров решения дифференциальных уравнений можно найти в электронных книгах системы. Если решение системы дифференциальных уравнений имеет вид гладких функций, то вместо описанной ранее функции rkfixed целесообразно применять функцию Bulstoer(y, x1, x2, n, F), реализующую метод Булириша—Штера.

Для решения дифференциальных уравнений Пуассона (в частных производных второго порядка) и уравнений Лапласа в систему введены следующие функции: multigrid(M, n) — возвращает матрицу решения уравнения Пуассона, у которого решение равно нулю на границах; relax(M1, М2, МЗ, М4, М5, A, U, r) — возвращает квадратную матрицу решения уравнения Пуассона для спектрального радиуса r. Для решения двухточечных краевых задач предназначены функции bvalfit и sbval.

Для унификации решения дифференциальных уравнений в составе блока решения Given в Mathcad 2000 PRO была введена новая функция odesolve(x, b[, steps]). Она возвращает вектор решения ОДУ при заданных начальных условиях и конце интервала интегрирования b. Если указано число шагов steps, то решение выполняется с фиксированным шагом, иначе — решение выполнятся адаптивным методом. Хотя аналитическое выражение для этой функции не выводится, с ней можно выполнять математические преобразования, например дифференцировать (рис. 7.25).

Рис. 7.25. Решение дифференциального уравнения второго порядка с помощью функции odesolve

В этом примере решение дифференциальных уравнений выглядит более логично и привычно — так же, как в блоках, решающих нелинейные уравнения.

Весьма важной в Mathcad является способность выполнять символьные (аналитические) вычисления. Лучше всего для этого использовать специальный оператор вывода символьных результатов ® и палитру символьных операций (кнопка с академической шапочкой). Выполняемые операции перечислены ниже.

Большую часть из этих операций можно выполнять с помощью команд меню Symbolics. Последняя команда в этом меню — Evalution Style — выводит окно установки стиля вывода: снизу исходного выражения (с пустой строкой и без нее), справа от исходного выражения, на его месте и с комментарием или без него. Примеры символьных операций в командном режиме (дифференцирование, интегрирование и разложение в ряд Тейлора) представлены ниже:

Differentiate   Integrate                Expand to series...

xⁿ              xⁿ                        sin(x)

                by integration, yields   converts to the series

Полезно обратить внимание на то, что часть операций выполняется над выделенным выражением, а часть — над выделенной переменной. В командном режиме символьных вычислений нельзя преобразовывать выражения, содержащие функции пользователя. Однако при использовании оператора символьного вывода это возможно. Ниже представлены типовые операции символьной математики на вычисление производной, интеграла, синуса кратных углов, решение квадратного уравнения и осуществление подстановки:

Более подробно о применении символьных операций вы прочтете в главе 8, посвященной системе символьной математики Maple V (ядро этой системы использовано для проведения символьных вычислений в Mathcad). Здесь же приведем эффектный прием применения символьных операций — решение в аналитическом виде системы нелинейных уравнений, заданных в векторной форме:

Mathcad имеет весьма полезное средство оптимизации вычислений. Его суть заключается в получении аналитического представления вычисляемого выражения, например интеграла, производной и т. д. После этого вычисления выполняются уже не медленными численными методами, а быстро по аналитическим выражениям. Оптимизация включается командой Optimization меню Math. Оптимизируемые выражения помечаются красной звездочкой (*).

Как уже отмечалось, Mathcad, по существу, является системой визуального программирования. Однако есть и палитра со средствами обычного программирования, кнопки которой описаны ниже.

Оператор ¬ выполняет функции внутреннего, локального присваивания. Пример его применения для задания программного модуля — функции пользователя — дан ниже:

Инструкция if предназначена для создания условных выражений:

выражение if условие

Если условие выполняется, то возвращается значение выражения. Пример:

Совместно с этим оператором часто используются операторы прерывания break и оператор иного выбора otherwise. Оператор for служит для организации циклов с заданным числом повторений выражений, помещаемых в шаблон:

for Var e Nmin .. Nmax

Ниже дан пример (чисто учебный) вычисления суммы n членов натурального ряда чисел с применением оператора for:

Инструкция while служит для организации циклов, действующих до тех пор, пока выполняется некоторое условие:

while условие

Ниже представлен учебный пример на задание функции вычисления факториала F(n) с применением двухступенчатого программного модуля с циклом while:

Инструкция иного выбора otherwise обычно используется совместно с инструкцией if. Это поясняет следующая программная конструкция:

f(x) := | 1 if x>0 возвращает 1, если х > 0
        | -1 otherwise возвращает -1 во всех иных случаях

Инструкция продолжения используется для продолжения работы после прерывания программы (чаще всего совместно с инструкциями задания циклов while и for), обеспечивая возврат в точку прерывания и продолжение вычислений. Особая инструкция return прерывает выполнение программы и возвращает значение выражения, стоящего следом за инструкцией. Например, в выражении return 0 if x<0 будет возвращаться значение 0 при любом х<0. В представленном ниже примере инструкция return используется для вычисления sin(x)/x в особой точке х=0:

Инструкция обработки ошибок позволяет создавать конструкции обработчиков ошибок:

выражение 1 on error выражение 2

Здесь, если при выполнении выражения 1 возникает ошибка, то выполняется выражение 2. Для обработки ошибок полезна и функция error(S), которая при возникновении ошибки в программном модуле возвращает окно с сообщением, хранящимся в символьной переменной S.

Mathcad имеет довольно обширную, но вполне обычную справочную систему, доступ к которой открывает меню Help. Новым является центр управления ресурсами и возможность доступа к электронным книгам и пакетам расширения системы.

Для доступа к центру управления ресурсами достаточно выбрать команду Resource Center в меню Help. Появится окно этого центра, показанное на рис. 7.26.

Рис. 7.26. Окно центра управления ресурсами системы Mathcad 2000